Матан Экзамен Часть 1 (2)

Посмотреть архив целиком

Билет 2.

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.
Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x): . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения , или .

1.Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) .

2.Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной)

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (
dv = vdx , du = udx):

.


Примеры:

2) Формула Остроградского-Лиувилля для ЛДУ(вывод n=2)
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка и два его линейно независимых решения.
Построим его ФСР, найдем определитель Вронского, выразим его через само уравнение и посмотрим, что получится:







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.