Матан Экзамен Часть 1 (1)

Посмотреть архив целиком

Билет 1.

  1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

Свойства первообразной.

  1. Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.
    (Док-во:
    ).

  2. Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

Док-во. Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то

  1. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.

  • Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

  1. Теорема о наложении решений. Если y1,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения Ln(y) = f1(x), y2,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения Ln(y) = f2(x), то функция является частным решением неоднородного уравнения .
    Док-во основано на линейности оператора Ln(y): , что и требовалось доказать.

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

.


где Pm1(x) и Qm2(x) - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s0 как корня характеристического уравнения, m = max(m1, m2). Тогда частное решение надо искать в виде , где Rm(x) и Sm(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию yчн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов Rm(x) и Sm(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции yчн(x).
Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.
I. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)= xr Rm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.
Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i, m1 = m, m2 = 0, max(m1, m2) = m, поэтому
yчн(x)= xr e0 x [Rm(x) cos 0x + Sm(x) sin 0x] = xr Rm(x) .
Примеры: 1. Найти общее решение уравнения .
Решение: характеристическое уравнение k2 - 5 k + 6 = 0, его корни k1 = 2, k2 = 3, yoo = C1e 2x + C3e 3x. Степень многочлена m = 3, число 0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), поэтому yчн(x) ищем в виде многочлена третьей степени с неопределёнными коэффициентами: yчн(x)= xr Rm(x) = Ax3 + Bx2 + Dx + E. Тогда ; подстановка этих выражений в уравнение даст [6Ax + 2B] - 5[3Ax2 + 2Bx + D] + 6[Ax3 + Bx2 + Dx + E] = x3 - 2x. Приводим подобные члены: 6Ax3 + [-15A + 6B] x2 + [6A - 10B + 6D] x + [2B -5D + 6E] = x3 - 2x. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x3
x
2
x

1

6A = 1;
- 15
A + 6B =0;
6
A – 10B + 6D = -2;
2
B – 5D + 6E = 0;

A = 1/6;
B
= 15A/6 = 5/12;
D
= 5B/3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36;
E
= 5D/6 – B/3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

Итак,




Случайные файлы

Файл
3121-1.rtf
102171.rtf
~$задачи.doc
153802.rtf
164445.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.