Матан Экзамен Часть 1 (7)

Посмотреть архив целиком

Билет 7.

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

    1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

    2. ,

    3. функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.




Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:
.
Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.
Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С (, где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром)




Случайные файлы

Файл
180626.rtf
65980.rtf
8507-1.rtf
32594.rtf
162344.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.