Матан Экзамен Часть 1 (3)

Посмотреть архив целиком

Билет 3.

Неопределённый интеграл и его свойства.

Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
Как следует из изложенного выше, если
F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

    1. .

    2. (или ).

.

.

.

.

().

.

.

.

; .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

;

2.Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

;

(5)

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

;

(6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

;

(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

;

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0;

(9)

  • (начальное условие (9) часто записывают в форме ).
    Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи.

Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку (t0, x0) (см. рис. 1).




Случайные файлы

Файл
181192.rtf
182882.rtf
2247-1.rtf
91990.rtf
26029.doc