Пример решения ДЗ №1 (Uslovie)

Посмотреть архив целиком

Задача 1.

Найти решение линейного уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям (задача Коши)


,


  1. Определим вид уравнения:
    - следовательно исходное уравнение является уравнением гиперболического типа.

  2. Составим характеристическое уравнение:

    Решим это уравнение относительно

  3. Найдем общие интегралы каждого из полученных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

    Возьмём:
    - канонические переменные

  4. Запишем составляющие исходного уравнения через канонические переменные:

  5. Подставим полученные выражения в исходное уравнение и, приводя подобные, получаем:

    Решаем уравнение, при

    Патенциируя уравнение, имеем:

  6. Полученное равенство проинтегрируем по :

    Общее решение канонического уравнения имеет вид:

  7. Подставляем канонические переменные и получаем общее решение исходного уравнения:

  8. Дифференцируем по y:

  9. Полагая y=0, получаем систему уравнений:

    Дифференцируем первое уравнение:

    Суммируем со вторым, получаем:

    Окончательный вид, при x=t:

  10. Подставим в уравнение с каноническими переменными:
    Ответ:























Задача 2.

Решить методом Фурье задачу со стационарными неоднородностями.


,

  1. Решение задачи в виде суммы U(x,t)=z(x)+(x,t):

  2. Решаем задачу:

    Подставляем в граничные условия:

    Следовательно z(x)=-shx+x.

  3. C учетом полученного уравнения получим задачу для функции (x,t):

  4. Находим частные решения первого в системе уравнения, удовлетворяющие условиям ниже и которые имеют специальный вид: , при этом они образуют бесконечное счетное множество:

  5. Составим ряд из этих решений:, в силу однородности линейности задачи этот ряд при любых также является решением уравнения(в системе первое), удовлетворяющим условиям ниже.


















Задача 3.

Найти распределение концентрации нейтронов в бесконечном слое ,,, если скорость размножения нейтронов пропорциональна их концентрации(коэффициент пропорциональности равен 3) при наличии объемных источников нейтронов с плотностью мощности . Поверхности x=0 и