Материал по радиоавтоматике+Вопросы (Анализ случайных ошибок в САУ)

Посмотреть архив целиком


Анализ точности систем радиоавтоматики

при случайных воздействиях


Методический материал предназначен для ознакомления с методами анализа точности работы систем радиоавтоматики при действии на систему случайного сигнала и случайной помехи, а также с оценкой зависимости суммарной ошибки и ее составляющих от изменения отдельных параметров системы, определением оптимальной полосы пропускания системы. Для анализа используется классический подход, основанный на представлении модели объекта в виде передаточной функции. Текст представляет собой компиляцию из работы [1].

На рисунке 1 показана расчетная структурная схема системы




Рисунок 1


Из рисунка 1 следует, что преобразование Лапласа для ошибки системы определяется из следующей системы уравнений


X (p) = Wф(p)V(p)

F(p) = X(p) + N(p)

E(p) = X(P) - Y(p)

Y(p) = Wз(p)F(p),

(1)


где V(p) - преобразование Лапласа для сигнала на входе формирующего фильтра,

Wф(p) - передаточная функция формирующего фильтра сигнала,

X(p), N(p), F(p) - преобразования Лапласа для сигнала x(t), помехи n(t) и наблюдаемого сигнала f(t),

Wз(p) - передаточная функция замкнутой исследуемой системы,

Y(p) - преобразование Лапласа выходного сигнала системы,

E(p) - преобразование Лапласа суммарной ошибки системы.


Из системы уравнений (1) следует, что


E(p) = We(p)X(p) - Wз(p)N(p), (2)


где We(p) = 1 - Wз(p) - передаточная функция ошибки системы.

Таким образом в преобразование Лапласа суммарной ошибки сигнал входит через передаточную функцию ошибки, а помеха через передаточную функцию замкнутой системы.

В данной работе в качестве случайной помехи используется белый шум с интенсивностью Nп, а управляющий сигнал ­- случайный сигнал с заданной спектральной плотностью Sx(). В этом случае сигнал и помеха некоррелированы, поэтому спектральная плотность суммарной ошибки определяется следующим выражением:


Se() = We(j)2Sx() +Wз(j)2Nп. (3)


Спектральная плотность сигнала


Sx()=Wф(j)2Nx, (4)


где Wф(j) - амплитудно-частотная характеристика формирующего фильтра сигнала,

Nx - интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра сигнала.

Из выражений (3) и (4) находим, что


Se() = We(j)Wф(j)2Nx + Wз(j)2 Nп . (5)


Дисперсия суммарной ошибки системы вычисляется по формуле:


(6)

или

e2=ex2+2 (7)


где ex2 - дисперсия ошибки системы относительно сигнала,

en2 - дисперсия ошибки системы из-за действия на систему помехи - белого шума.

Для вычисления интегралов в выражении (6) используются различные способы, из которых укажем следующие: графический, табличный и алгоритмический.

По алгоритмическому способу дисперсия ошибки вычисляется по следующей формуле:


. (8)


Значения и вычисляются через коэффициенты многочленов числителя и знаменателя подинтегрального выражения формулы (6). Так, при расчете дисперсии ошибки относительно сигнала x(t) подинтегральное выражение имеет вид:

We(j)Wф(j) = . (9)


Числа и вычисляются по следующим формулам:



(10)

. . . .


Аналогичным образом рассчитывается и дисперсия ошибки из-за действия на систему помехи.

При исследовании точности работы систем радиоавтоматики при случайных воздействиях вычисляются зависимости дисперсии суммарной ошибки и ее составляющих от изменения значений регулируемых параметров системы, по этим характеристикам определяются оптимальные значения этих параметров, при которых дисперсия суммарной ошибки принимает минимальное значение. Полоса пропускания, соответствующая оптимальным значениям регулируемых параметров, называется оптимальной. В большинстве систем радиоавтоматики регулируемыми параметрами является коэффициент усиления и постоянные времени корректирующих устройств.

Выше рассмотрен случай, когда наблюдаемый сигнал f(t) образуется из суммы сигнала x(t) и помехи n(t).

В ряде систем радиоавтоматики сигнал и помеха действуют в различных точках системы, структурная схема такой системы показана на рисунке 2.

Рисунок 2


После очевидных преобразований структурнyю схему на рисунке 2 удобно представить в виде, изображенном на рисунке 3.


Рисунок 3


На рисунках 2 и 3 использованы следующие обозначения:

v(t) - белый шум на входе формирующего фильтра сигнала,

x(t) - управляющее воздействие (сигнал),

Wф(p) - передаточная функция формирующего фильтра сигнала,

ecо(t) - сигнал ошибки (рассогласования) системы,

n(t) - помеха ( возмущающее воздействие),

Wзx(p) - передаточная функция замкнутой системы относительно сигнала x(t),

Wзп(p) - передаточная функция замкнутой системы относительно помехи n(t),

e(t) - ошибка системы.

Передаточная функции замкнутой системы относительно помехи определяется выражением:


. (11)


Из рисунка 3 следует, что


Y(p) = Wзx(p)X(p) + Wзnp) N(p), (12)


E(p) = X(p) - Y(p). (13)


Из последних уравнений получаем


E(p) = We(p)X(p) - Wзп(p)N(p), (14)


где X(p), N(p), Y(p) - преобразования Лапласа для соответствующих сигналов,

We(p) = 1 - Wзx(p) - передаточная функция ошибки.


Спектральная плотность ошибки системы аналогична (4) и имеет вид


Se() = We(j)Wф(j)2 Nx + Wзп(j)2 Nп (15)


где Nx, Nп - интенсивности сигнала и помехи.

Дисперсия суммарной ошибки определяется следующим выражением:


(16)


Составляющие дисперсии относитeльно сигнала и помехи рассчитываются таким же образом, как и в предыдущем случае.

При анализе систем радиоавтоматики при случайных воздействиях помимо расчета дисперсии суммарной ошибки и ее составляющих рассчиты- ваются зависимости дисперсии суммарной ошибки и ее составляющих от значений регулируемых параметров системы, обычно такими параметрами являются коэффициент усиления системы и постоянные времени корректирующих устройств. Рассмотрим решение этой задачи на конкретном примере.


Пример Передаточная функция электромеханической системы в разомкнутой состоянии имеет вид


. (17)


Регулируемым параметром в данной системе является коэффициент усиления корректирующего звена, помеха и сигнал образуют наблюдаемый сигнал, приложенный к входу системы. Спектральные плотности сигнала и помехи определяются следующими выражениями:


, , (18)


где Nx = 0.5гр2с, Tx = 0,5c , Nп = 0.05 гр2с.


При заданных параметрах системы передаточные функции замкнутой системы и ошибки имеют вид:


(19)


(20)


Передаточная функция формирующего фильтра сигнала находится из выражения (4), которое в рассматриваемом примере имеет вид:


,


где Tф - постоянная времени формирующего фильтра, равная в рассматриваемом примере постоянной времени Tx.

Дисперсия суммарной ошибки и ее составляющих рассчитываются по формуле (16), для вычисления интегралов можно использовать формулы для интегрирования спектральных плотностей, приведенные в [1].

Hа рисунке 4 показаны расчетные зависимости дисперсии суммарной ошибки e2 и ее составляющих ex2 и eп2 от величины коэффициента усиления корректирующего устройства k1. Для удобства на рисунке 4 дисперсия ошибки относительно сигнала обозначена через dex(k), дисперсия ошибки из-за действия помехи через den(k), а дисперсия суммарной ошибки через den(k).


Рисунок 4


Из рисунка 4 следует, что с увеличением коэффициента усиления системы дисперсия ошибки относительно сигнала dex уменьшается, это связано с тем, что с ростом коэффициента усиления расширяется полоса пропускания системы, вследствие чего большая часть спектра сигнала воспроизводится системой и ошибка относительно сигнала уменьшается. Дисперсия ошибки системы из-за действия помехи с ростом коэффициента усиления в системе увеличивается, так как с расширением полосы пропускания системы большая часть спектра помехи проходит на выход системы, что приводит к росту дисперсии ошибки den.

Из рисунка 4 также следует, что дисперсия суммарной ошибки системы при некотором значении коэффициента усиления системы становится минимальной. В рассмотренном примере этот коэффициент усиления системы равен 20с-1, это значение называют оптимальным коэффициентом усиления и обозначают kopt.

Следует иметь в виду, что здесь оптимальность понимается только в смысле минимума суммарной дисперсии ошибки системы (минимуму средней квадратической ошибки).

Из анализа результатов расчетов, приведенных на рисунке 4, следуют очевидные, но весьма важные выводы: с ростом интенсивности спектральной плотности сигнала Nx оптимальное значение коэффициента усиления системы увеличивается, а с ростом интенсивности спектральной плотности помехи Nп оптимальный коэффициент усиления уменьшается.

Аналогичным образом оценивается влияние других параметров корректирующего устройства на дисперсию суммарной ошибки системы и ее составляющих.


Литература


1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика, учебник для вузов. М:. Высшая школа,1990.



Случайные файлы

Файл
22582-1.rtf
186842.rtf
169612.rtf
74365.rtf
61057.rtf