Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций (183788)

Посмотреть архив целиком

Московский городской университет управления правительства Москвы

Факультет управления

Кафедра прикладной математики








Реферат

по учебной дисциплине

"Математические методы исследования систем управления"

На тему: "Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций"













2010


1. Биматричные игры


Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости.

Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта – игроки, действие игрока – ход, совокупность ходов – стратегия, результат игры – выигрыш.

Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.

К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.

Игры с фиксированной суммы – игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А1, …, Аm;

игрок В – любую из стратегий В1, …, Вn;

Если игрок А выбрал стратегию Аi, игрок В – Вj, то в итоге выигрыш игрока А составит аij, игрока В – bij. Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц.


А=

В=


Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм – биматричным.


2. Состояние равновесия в биматричных матрицах


Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов – желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна.

Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый – поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй – поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Остановим своё внимание на первом подходе.

В данном подходе используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями.

Пусть игрок А выбирает стратегию А1, с вероятностью р1, А2 – р2, …, Аmpm, причём



Игрок В использует стратегию В1 с вероятностью q1, B2q2, …, Bnqn, причём



В качестве критерия "удачности" игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам:




Таким образом, можно сформулировать основное определение:

Распределение вероятностей Р* () и Q () определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:



Если равновесная ситуация существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку.

Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях.


3. Общий принцип решения биматричных игр


В первое неравенство системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что А придерживается своей оптимальной стратегии.

Полученная система m+n неравенств, решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*,Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия.

Пример: борьба за рынок.


А=

В=



Решение задачи


vA=-10×1q1+2×1*(1-q1)+(1-p1)q1-(1-p1)(1-q1)=-14×1q1+3×1+2q1-1

vB=5×1q1-2×1*(1-q1)-(1-p1)q1 +(1-p1)(1-q1)=9×1q1-3×1-2q1+1


Пусть

p1=1 тогда vA=2-12q1 -14×1q1+3×1+2q1-1

p1=0 тогда vA=-1+2q1 -14×1q1+3×1+2q1-1

q1=1тогда vB=-1+6×1 9×1q1-3×1-2q1+1

q1=0 тогда vB=1–3×1 9×1q1-3×1-2q1+1


Cоставляем 4 системы, преобразовываем, получаем:


(p1-1)(-14q1+3) 0

p1 (-14q1+3) 0

(q1-1)(9×1–2) 0

q1 (9×1–2) 0

p1=0 следовательно -(-14q1+3) 0 q1 3/14

p1=1 следовательно (-14q1+3)>=0 q1 3/14

0<p1<1 следовательно -(-14q1+3) 0 и (-14q1+3) 0->q1=3/14

q1=0 следовательно p1 2/9

q1=1 следовательно p1 2/9

0<q1< 0-p1=2/9


Строим график по всем p и всем q, получается на пересечении точка p1=2/9, q1=3/14 - решение системы неравенств.


P(2/9;7/9), Q(3/14;11/14)

vA=4/7, vB=1/3


Вывод: 2/9 товара предлагать на первом рынке и 7/9 на втором рынке и тогда минимальный проигрыш — 4/7. 3/14 -защищать 1-й рынок, 11/14-защищать второй рынок.



Случайные файлы

Файл
169242.rtf
19981.doc
122622.rtf
59868.rtf
12643.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.