Оптимизация показателей (183332)

Посмотреть архив целиком

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:

  1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції

  2. всі обмеження записані в вигляді рівностей

  3. для всіх змінних виконується умова невідємності

Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=.

Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності.

Вихідне завдання:

F = 1 +6х2 max

-10x1 - 6x2 -60

-4x1 + 9x2 36

4x1 - 2x2 8

x1,x20 x1,x2-цілі числа

Основна задача:

F = 1 +6х2 max


10x1 + 6x2 + х3 =60

-4x1 + 9x24= 36

4x1 - 2x2 5 = 8


x1,x2,x3,x4,x5 0 x1,x2-цілі числа

Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор – стовпець Ро складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів.

Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю.

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р3

0

60

10

6

1

0

0

2

Р4

0

36

-4

9

0

1

0

3

Р5

0

8

4

-2

0

0

1

4

F


0

-5

-6

0

0

0

Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблиця


Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи:

  1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення

Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі.

Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x1—вектор Р1 і т.д.

Вектор Р0 складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х1 перша компонента змінній х2—друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р0 з того рідка де в базисі стоїть 1.

У вихідній таблиці вектори Р1, Р2 – не базісні, тобто в Х – перша и друга компоненти = 0

Х=(0;0;60;36;8)

  1. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до новій с-т.

Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.

  1. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним, якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р2 |-6|>|-5|

  2. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)

Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.

  1. Будують наступну с-т .

Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою

aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка

aij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці

aij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці

аіk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.

аnj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.

ank – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.


a10= 60 – (36*6)/9 = 36

a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р3

0

36


0

0

-1 1/5

0

2

Р2

6

4

-4/9

1

1

1/5

0

3

Р5

0

16

28/9

0

0

3/5

1

4

F


24

-23/3

0

0

1 1/5

0

Таблиця № 2



Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24

В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 – визначальний стовпець

Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3


Таблиця № 3


рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р1

5

54/19

1

0

3/38

-1/19

0

2

Р2

6

100/19

0

1

2/57

5/57

0

3

Р5

0

136/19

0

0

-14/57

22/57

1

4

F


870/19

0

0

21/38

5/19

0

X3= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19

В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.

2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі

х1=54/19, х2=100/19

До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел.

Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.

F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19)

-3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19

таблиця № 4

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

1

Р1

5

54/19

1

0

3/38

-1/19

0

0

2

Р2

6

100/19

0

1

2/57

5/57

0

0

3

Р5

0

136/19

0

0

-14/57

22/19

1

0

4

Р6

0

-16/19

0

0

-3/38

-18/19

0

1

5

F


870/19

0

0

23/38

5/19

0

0


Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний

с. м.

3.

Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:

  1. Знахдять опорне рішення

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

  1. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.

Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.

  1. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро

Рядок № 4

  1. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)

Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4


Таблиця № 5

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

1

Р1

5

26/9

1

0

1/12

0

0

-1/18

2

Р2

6

140/27

0

1

1/36

0

0

5/54

3

Р5

0

1048/171

0

0

-13/38

0

1

11/9

4

Р4

0

8/9

0

0

1/12

1

0

-19/18

5

F


410/9

0

0

7/12

0

0

5/18


Х5= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5 = 45 5/9

F(x1) = f ( 2 8/9) = 8/9

F (x2) = f ( 5 5/27) = 5/27















-1/12х3 – 17/18х6 + х7 = -8/9


таблица № 6

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

1

Р1

5

26/9

1

0

1/12

0

0

-1/18

0

2

Р2

6

140/27

0

1

1/36

0

0

5/54

0

3

Р5

0

1048/171

0

0

-13/38

0

1

11/9

0

4

Р4

0

8/9

0

0

1/12

1

0

-19/18

0

5

Р7

0

-8/9

0

0

-1/12

0

0

-17/18

1

6

F


410/9

0

0

7/12

0

0

5/18

0



Таблица № 7

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

1

Р1

5

50/17

1

0

3/34

0

0

0

-1/17

2

Р2

6

260/51

0

1

1/57

0

0

0

5/57

3

Р5

0

1608/323

0

0

-436/969

0

1

0

11/17

4

Р4

0

32/17

0

0

3/17

1

0

0

-19/17

5

Р6

0

16/17

0

0

3/34

0

0

1

-18/17

6

F


770/17

0

0

19/34

0

0

0

5/17


Х6= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6 = 45 5/17

Будуємо нове відсічення:

F(x1) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17

F(x2) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51

F(x1)> F(x2)


-3/34x3 – 16/17x7 + x8 = -16/17










таблица №8

рядка

Базис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

Р8

1

Р1

5

50/17

1

0

3/34

0

0

0

-1/17

0

2

Р2

6

260/51

0

1

1/57

0

0

0

5/57

0

3

Р5

0

1608/323

0

0

-436/969

0

1

0

22/17

0

4

Р4

0

32/17

0

0

3/17

1

0

0

-19/17

0

5

Р6

6

16/17

0

0

3/34

0

0

1

-18/17

0

6

Р8

0

-16/17

0

0

-3/34

0

0

0

-16/17

1

7

F


770/17

0

0

19/34

0

0

0

5/17

0


Случайные файлы

Файл
164381.rtf
172472.doc
kurs.doc
114179.rtf
53003.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.