Математическое программирование и моделирование в экономике и управлении (kursovik)

Посмотреть архив целиком

Министерство образования РФ

Санкт-Петербургская Лесотехническая академия им. С. М. Кирова








Кафедра: математических методов и моделирования в экономике и управлении



Курсовая работа по математическому программированию и моделирования в экономике и управлении.










Выполнила: студентка ФЭУ, II курса, 4 группы

д/о, направление 521500

менеджмент

Гузеева Ольга

Зачётная книжка № 600033

Преподаватели: П. Н. Коробов, А. А. Моисеев












Санкт-Петербург

2002 год

Методология математического моделирования ассортиментной задачи (задачи оптимизации программы выпуска продукции по ассортименту).


Этапы решения задач:

  1. выбор проблемы решения;

  2. постановка проблемы и разработка экономико-математической модели (ЭММ);

  3. выбор метода решения;

  4. выполнение решения;

  5. анализ результата и проведение эксперимента;

  6. внедрение результата, полученного в результате опыта.

Задачи оптимизации:

  1. обеспечение балансовой увязки между знаниями по выпуску продукции разных видов и наличием производственных ресурсов (сырьё, материалы, машинное время, трудовые ресурсы, энергия и т. п.);

  2. обеспечение максимального экономического эффекта при использовании производственных ресурсов;

  3. проведение эксперимента (повторы решения при изменённых условиях, чтобы выработать альтернативные варианты и выбрать из них наиболее приемлемый).

Под оптимизацией программы выпуска продукции по ассортименту понимаются такие объёмы выпуска различной продукции, которые обеспечивают получение максимального экономического эффекта от реализации всей продукции.


Условия задачи: на предприятии имеются свободные ресурсы: сырьё, материалы, машинное время, трудовые и т. п. В условии задачи известны фонды производственных ресурсов на планируемый период, нормы их затрат на единицу (десяток, сотню или комплект продукции), а также известны показатели прибыли от реализации продукции. Найти программу выпуска продукции по ассортименту, обеспечивающую максимальную суммарную прибыль от её реализации.


Виды производственных ресурсов

Фонды производственных ресурсов на планируемый период

Нормы затрат производственных ресурсов на единицу продукции

Р1 …………….. Рj ……………… Рn

1

.

.

.

r

.

.

.

R

bj

.

.

.

br

.

.

.

bR





A=[arj]Rx n


Критерий оптимальности

с1 ……………… сj ………………. cn


j – индекс вида продукции;

Pj – виды продукции;

r – индекс вида производственных ресурсов (от 1 до R);

br – фонд r-производственного ресурса;

arj – норма затрат rj-производственного ресурса;

cj – критерий оптимальности; его сущность заключается в том, что это экономический, технико-экономический показатель, который заложен в условии задачи для суждения об оптимальности её решения;

xj –количество продукции Pj.

Х=(х1, х2…хjxn) – оптимальная программа выпуска продукции по ассортименту.

Критерий оптимальности:

Система ограничений:

Суммарные затраты r-производственного ресурса на выполнение всех n видов продукции не должен превышать фонды этого ресурса, которым предприятие владеет на планируемый период.

Экономическое содержание и математическое моделирование распределительных нетранспортных задач.


I. Известна программа выполнения продукции на период. Эта программа может быть выполнена на разных станках, а также известны фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя, часовая производительность каждого из исполнителей при выработке каждого вида продукции. Известны затраты по выполнению продукции у разных исполнителей.

i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;

j – индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;

m – количество рабочих (станков);

n – число видов продукции (работ);

bi – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;

λij – часовая производительность j-продукции у i-исполнителя;

Λ=[ λij]mxn – известно;

sij – себестоимость производства единицы j-продукции у i-исполнителя;

S=[ sij] mxn – известно;

Pj – вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно;

Наименование

исполнителя

Фонд эффективного рабочего времени

P1 ………………… Pj …………………. Pn

производительность / себестоимость

1

.

.

.

i

.

.

.

m

b1

.

.

.

bi

.

.

.

bm





Λ=[ λij]mxn / S=[ sij] mxn


Найти план распределения производственного задания по выпуску продукции (выполнения работ) между исполнителями, при котором задание было бы выполнено с минимальными суммарными затратами.

xij – затраты эффективного рабочего времени у i-исполнителя на произведение j-продукции;

Х=[ xij]mxn – искомые величины.

Целевая функция:


sij – себестоимость часового объёма выпуска продукции определённого вида на определённом оборудовании.


Система ограничений:

суммарные затраты эффективного рабочего времени на выполнение всех видов работ не должен превышать фонда, которым располагает i-рабочий в плановом периоде;

суммарный объём выпущенной продукции j-вида у всех m исполнителей должен быть равен производственному заданию;


II. На предприятии известна программа выпуска продукции по видам, которая может быть выполнена разными исполнителями (на разных участках). В условии задачи известны: фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя в плановом периоде, показатели норм затрат эффективного рабочего времени на производство различных видов продукции на разном оборудовании, а также прибыль от реализации единицы продукции, выработанной разными исполнителями.


Наименование

исполнителя

Фонд эффективного рабочего времени

P1 ………………… Pj …………………. Pn

нормы затрат / прибыль

1

.

.

.

i

.

.

.

m

b1

.

.

.

bi

.

.

.

bm





A=[ aij]mxn / C=[ cij] mxn



i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;

j – индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;

m – количество рабочих (станков);

n – число видов продукции (работ);

bi – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;

aij – показатель нормы затрат на производство j-продукции у i-исполнителя;

A=[ аij]mxn – известно;

сij – показатель прибыли от единицы j-продукции у i-исполнителя;

С=[ сij] mxn – известно;

Pj – вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.

Требуется найти план распределения производственного задания между исполнителями, при котором это задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации всей продукции.

xij – объём (количество) j-продукции выработанной i-исполнителем;

Х=[ xij]mxn – искомые величины.


Целевая функция:

Система ограничений:


При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.

Методология математического моделирования раскройной задачи (задачи оптимизации программы раскроя материалов).


Пусть имеются ДСП стандартных размеров, из которых необходимо нарезать m различных по размеру заготовок и деталей для производства мебели. ДСП определённого размера может быть раскроена n способами (вариантами). По каждому из возможных вариантов раскроя составляется соответствующая карта раскроя, из которой видно, что при j (j=1,2…n) способе раскроя из одной плиты получается определённое количество (обозначим через aij) заготовок i (i=1,2…m) вида (размера). По картам раскроя устанавливается также величина отходов (площадь, вес, стоимость) при раскрое одной плиты j способом (обозначим – сj). В задании на раскрой должно быть указано общее количество заготовок каждого i вида (размера) – bi, которое необходимо нарезать из плит, поступивших в раскрой (обозначим – R). В задаче требуется определить оптимальный план раскроя ДСП, обеспечивающий минимальные отходы (или минимальный расход раскраиваемых материалов), при условии выполнения задания по выходу заготовок.

xj – количество ДСП, которое следует раскраивать с тем, чтобы нарезать заданное число заготовок каждого вида, при этом суммарные отходы (или суммарный расход плит) должны быть минимальными.


Виды заготовок

Задание по раскрою

Способы раскроя

1 ……………………. j ………………….. n


1

.

.

.

i

.

.

.

m

b1

.

.

.

bi

.

.

.

bm





A=[ аij]mxn

Отходы

C=[ cj] n






Критерий оптимальности:

Система ограничений:


При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.



Рассмотрим пример решения задачи оптимизации программы раскроя материалов симплексным методом.


F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4=min

F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4+0x5+0x6+0x7+0x8+0x9+M(y1+y2+y3+y4)=min






















C0

P0

B

0.26

0.28

0.3

0.29

0

0

0

0

0

M

M

M

M

β

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

Y1

Y2

Y3

Y4

0

X5

250

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

255

250

M

Y1

540

1

31

1

2

0

-1

0

0

0

1

0

0

0

547

180

M

Y2

200

2

1

0

2

0

0

-1

0

0

0

1

0

0

205

200

M

Y3

400

0

2

3

0

0

0

0

-1

0

0

0

1

0

405

200

M

Y4

390

1

2

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

1

393

195

1530M

4M-0.28

8M-0.28

4M-0.3

4M-0.29

0

-M

-M

-M

-M

0

0

0

0


0

X5

70

2/3

0

2/3

1/3

1

1/3

0

0

0

-1/3

0

0

0

218/3

70/3

0.28

X2

180

1/3

1

1/3

2/3

0

-1/3

0

0

0

1/3

0

0

0

547/3

-

M

Y2

20

5/3

0

-1/3

4/3

0

1/3

-1

0

0

-1/3

1

0

0

68/3

20/3

M

Y3

40

-2/3

0

7/3

-4/3

0

2/3

0

-1

0

-2/3

0

1

0

121/3

80/3

M

Y4

30

1/3

0

-2/3

-4/3

0

2/3

0

0

-1

-2/3

0

0

1

85/3

60/3

50.4+90M

4/3M-1/6

0

4/3M-31/150

-4/3M-31/300

0

5/3M-7/75

-M

-M

-M

-8/3M+7/75

0

0

0



Дальнейшее решение было проведено на компьютере и получены следующие ответы: всего подлежит раскрою 200 плит, причем все раскраиваются вторым способом, тогда мы получим 600 заготовок первого вида, 200 – второго, 400 – третьего, 400 – четвёртого, при минимальных отходах, равных 56 м2.

Экономическая сущность и математическое моделирование транспортных задач.


Известны: пункты производства (А1, А2Ai … Аm); m – пунктов, производящих конкретную продукцию;

аi – мощность i-поставщика (сколько необходимо реализовать продукции, т. е. перевести из Аi)

суммарная мощность поставщиков в плановом периоде;

пункты потребления (В1, В2Bj … Вn); n – пунктов потребления конкретной продукции;

bj – потребность (спрос, ёмкость) j-поставщика в конкретной продукции;

суммарный спрос n-потребителей.

1) – сбалансированные спрос и предложение, такие задачи называются закрытыми транспортными задачами;

­– открытая транспортная задача.

2) возможна поставка продукции из любого пункта производства в любой пункт потребления.

3) сij – затраты на поставку продукции, т. е. критерий оптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).


В задаче требуется найти план транспортных связей между поставщиками и потребителями продукции, при котором потребности всех потребителей были бы удовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.


xij – объём поставки от i-поставщика к j-потребителю (искомая величина)


Поставщики

и их мощности

Потребители и их спрос

B1 ………………………….. Bj ………………………………….. Bn

b1 …………………………… bj ………………………………….. bn

С=[ сij] mxn / Х=[ xij]mxn

A1


a1


c11

…………………….

x11…………………

c1j

………………….

………x1j………

c1n

………………

………….. x1n




.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

. . .

. . .

.

.

.

. . .

. . .

. . .

.

.

.

. . .

. . .

. . .

Ai


ai


ci1

…………………….

xi1…………………

cij

………………….

………xij………

cin

………………

………….. xin




.

.

.

.

.

.

.

.

.


.

.

.


.

.

.


Am

am


cm1

…………………….

xm1…………………

c11

………………….

………xmj………

c11

………………

…………..xmn





Целевая функция:

(1)

Условие реализации продукции у каждого из поставщиков:

(2)

Условие обеспечения всех потребителей продукцией по их потребности:

(3)

Условие не отрицательности переменных:

В решении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие не отрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.


m+n-1 – линейно независимых уравнений, ранг системы, r= m+n-1.

В каждом опорном плане должно быть m+n-1 базисных элементов (xij>0), если таких переменных равно или больше, чем m+n-1, план называется невырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такой план считается вырожденным.


Открытые транспортные задачи.


a)

(1)

(2)

(3)

Bn+1: – потребность какого-то потребителя, находящегося за пределами района (фиктивный потребитель).

(1)

(2)