Полезная книга (06Глава 5)

Посмотреть архив целиком

2.3. Методы и средства функционального синтеза

Математические модели электронных схем. Анализ электронных схем на ЭВМ осуществляется с помощью математической модели, т.е. системы уравнений, описывающей работу исследуемой схемы. Математическая модель схемы (ММС) состоит из компонентных (макромодельных) и топологических уравнений. Компонентные уравнения — уравнения элементов или макромоделей. Топологические уравнения — уравнения связи элементов в узле или устройстве.

Переменные, характеризующие состояние элементов, принято называть фазовыми переменными. Обозначим: V — вектор фазовых переменных; E - подвектор, образованный фазовыми переменными вектора V, производные которых фигурируют в компонентных уравнениях. Для электронных схем V — вектор токов и напряжений всех ветвей схемы, E — индуктивные токи и емкостные напряжения.

При формировании ММС задается перечень элементов системы и имеется библиотека элементов или макромоделей, т.е. подсистема компонентных уравнений F(z,V,t)=0. После дискретизации уравнение будет иметь вид

Fk(zk, Vk, tk)=0, (2.1)

где zk=z(th), Vk=V(th), tk — значение независимой переменной t для k-го шага интегрирования. Выполнив разложение (2.1) в ряд Тейлора в окрестностях точки (zki, Vki), являющейся i приближением к корню этой системы, и сохранив в разложении только линейные члены, получим

Аkizk,i+1 + BkiVk,i+1 = Qki, (2.2)

где Aki = Fk/zk , Bki = Fk/Vk и вектор правых частей Qki определены в точках (zki, Vki), a (zk,i+1, Vk,i+1) — точки (i+1)-гo приближения к корню.

Так как заданы межэлементные связи, то известна подсистема топологических уравнений


DVk,i+1 =0 (2.3)

где D — топологическая матрица.

Для полноты системы математической модели используется подсистема, выражающая формулу численного интегрирования:

F(zk,i+1,Vk,i+1)=0. (2.4)

Для большинства методов подсистема (2.4) линейна:

,

и задача формирования ММС конкретизируется как задача формирования матриц , Hk, D, Аki, Bki и векторов и Qki.

Общая система уравнения ММС:


Подсистема линейных алгебраических уравнений (2.3) выражает законы Кирхгофа для токов и напряжений для выбранной совокупности независимых контуров и сечений в графе схемы замещения (эквивалентной схемы). Выбор совокупности эквивалентен выбору фундаментального дерева в графе схемы. Фундаментальным деревом связного графа называется суграф, в котором отсутствуют циклы. Для связного графа с а вершинами фундаментальное дерево состоит из ребра. Нордами называются ребра, не вошедшие в фундаментальное дерево.

Система уравнений для первого закона Кирхгофа:

Jр + МJх = 0, (2.5)

Где Jp и Jx – векторы токов соответственно ребер и хорд фундаментального дерева; М — топологическая матрица контуров и сечений.



Система уравнений для второго закона Кирхгофа:

UxMTUp = 0 (2.6)

где UX и Up — векторы напряжений соответственно хорд и ребер фундаментального дерева; Мт — транспонированная матрица М.

Следовательно, подсистема уравнений (2.3) с матрицей коэффициентов D принимает вид

Операции выбора фундаментального дерева и формирования матрицы М формализованы.

В настоящее время для формирования системы уравнений применяются методы переменных состояния, метод узловых потенциалов, обобщенный метод и т.п. [16],

Метод переменных состояния (МПС). В методе переменных состояния в качестве переменных используются напряжения на емкостях и токи через индуктивности (переменные состояния). Метод основан на получении ММС в форме, удобной для применения явных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В МПС исходными являются уравнения:

JP + MJX = 0;

UX - MUP = 0;

FK(zK,VK,tK) = 0;

где матрица М формируется на основе нормального дерева в графе схемы. Нормальным деревом графа схемы называется дерево, которое содержит все источники напряжения, максимально возможное число конденсаторов и резисторов, минимально возможное число индуктивностей.

В этом случае М-матрица имеет следующую структуру:



Здесь С, S — матрицы конденсаторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; R, — матрицы резисторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; Г, L — матрицы индуктивностей, попавших в дерево и хорды графа соответственно. Зависимые и независимые источники напряжения Е, JE и источники тока J, UJ.

Тип ветви определяется видом соответствующего ей компонен­тного уравнения. В МПС предполагается, что компонентные уравнения резистивных ветвей связывают JR и UR, емкостных Ветвей Us и Js либо Uc и Jc, индуктивных ветвей JL и UL либо JГ и UГ; при этом в уравнениях связи могут фигурировать переменные состояния, к которым относятся Uc и JL. Источники напряжений Е и тока J могут быть независимыми или зависимыми только от переменных состояния и времени, т.е. компонентные уравнения имеют вид:



FR(UR,JR,UC,JL) = 0; (2.8)

Fr(Ur,Jr,UC,JL) = 0; (2.9)

FS(,JS,UC JL) = 0; (2.10)

FC(,JC,UC JL) = 0; (2.11)

FL(,UL,UC JL) = 0 (2.12)

Fr(,Ur,UC JL) = 0; (2.13)

FE(UE,Uc,JL,t) = 0; (2.14)

Fj(Jj,UC,JL,t) = 0. (2.15)

Математическая модель схемы ММС состоит из трех подсистем алгебраических уравнений и формул явного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Первая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.8), (2.9) и топологических уравнений, характеризующих резисторы:


Вторая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.11) и топологических уравнений, относящихся к матрице конденсаторов:

* =

По аналогии формируется третья подсистема из линеаризован­ных уравнений (2.12), (2.13) и топологических уравнений, относящихся к индуктивностям:

* =

Здесь Qr, QR, Qs, Qc, QL, Qr— правые части линеаризован­ных компонентных уравнений, зависящие от переменных состояния:

Qr = -Fr(Ur,Jr,Uc,JL).+ (Fr/Jr)J'r+(Fr/Ur)U'r;

QR = -FR(U'R,J'R,UC,JL) + (FR/JR)J'R + (FR/UR)U'R;

QS = - FS(U'SJ'S,UC,JL) + (FS/JS)U'S + (FS/JS)J'S

и т.д., где обозначение переменной со штрихом относит ее к пред­ыдущей итерации вычислительного процесса,

Таким образом, на очередном шаге численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) явными методами выполняются следующие вычисления:

по известным от предыдущего шага значениям U c, JL и известному значению t вычисляются значения UE, JJ путем решения

компонентных уравнений (2.14) и (2.15) и значения их производных по времени;

вычисляются правые части и коэффициенты системы уравнений (2.16). ..(2.18);

вычисляются векторы J R и U г по (2.16);

вычисляются векторы и по (2.17);

применяется одна из явных формул интегрирования, позволя­ющая по ()U с и ()J L вычислить значения и для нового шага интегрирования.

Метод позволяет использовать неявные методы интегрирования ОДУ. Рассмотренный метод переменных состояния отличается высокой наглядностью, так как позволяет получить конечную форму ма­тематической модели схемы в виде дифференциального уравнения.

Пример. Построить ММС для схемы рис. 2.20, а , граф-схе­ма которой приведен на рис. 2.20, б с помощью МПС в случае ис­пользования явных методов интегрирования.