4 типовик(В ФОРМАТЕ DOCX) (image-24-11-15-18-29-5)

Посмотреть архив целиком







Министерство образования Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.Э. БАУМАНА








Домашнее задание №4:

Электромагнитные волны.




Вариант №21

















Москва

Условие:

Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме в положительном направлении оси Oz. Вектор плотности потока электромагнитной энергии S имеет вид: . Считая волновое число k и амплитудное значение вектора известными действительными величинами, что допустимо для однородной изотропной среды без эффектов поглощения, найти:

  1. вектор напряжённости электрического поля E этой волны как функцию времени t и координат точки наблюдения;

  2. вектор напряжённости магнитного поля H этой волны как функцию времени t и координат точки наблюдения;

  3. объёмную плотность энергии w;

  4. средний вектор Пойнтинга S

  5. среднее значение Sплотности потока энергии, переносимой этой волной;

  6. вектор плотности тока смещения

  7. среднее за период колебаний значение модуля плотности тока смещения

8) величину импульса K ед (в единице объёма).

9) записать волновое уравнение для магнитной и электрической компонент рассматриваемой электромагнитной волны и изобразить схематично мгновенную фотографию этой волны.





















Решение:


  1. Так как по условию волна распространяется по оси Oz, а тройки векторов и являются правыми. То векторы и сонаправлены Oz; положительное направление оси Oy направим вдоль вектора , а оси Ox вдоль вектора .



Представим векторы напряжённости электрического поля и магнитного поля плоской гармонической электромагнитной волной в комплексной форме:


(1)


где и амплитудные колебания.


Представим скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора точки наблюдения в координатной форме, учитывая, что эти векторы направлены вдоль оси Oz:



Подставим полученное в (1):


(2)


Из уравнения Максвелла в дифференциальной форме, связывающее между собой изменение в пространстве и во времени электрического и магнитного полей (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея) и условий распространения волны в вакууме получаем:


(3)


В нашем случае , следовательно:


представление ротора векторного поля в декартовых координатах с помощью символического определителя третьего порядка; , - единичный орты осей декартовой системы координат.



Подставим полученное в (3):




(4)


Из (2) и (4) получим:


(5)


Между волновым числом и круговой частотой справедливы соотношения:


, где - скорость света в вакууме


тогда


Подставим полученное в (5):


(6)


Из условия задачи, нам известно, что , а так же мы знаем, что . Используя (2) и (6) и то, что :




Из вида последнего равенства можно предположить, что = 0, т.к. это равенство должно быть равно при любом значении фазы колебаний, то обе части можно сократить на косинус в квадрате.




(7)


Вектор направлен вдоль оси Oz, следовательно, получаем:


(8)


Подставляя известные величины:



  1. Найдём , воспользовавшись (2), (6) и (7):


H(x,t) = cos( cos( cos(


Вектор направлен вдоль оси Ox, следовательно:


cos( (9)


Подставляя известные значения:


cos(


  1. Найдём объёмную плотность энергии электромагнитного поля


Объёмная плотность энергии электромагнитного поля может быть рассчитана по следующей зависимости:


(10)


где первое слагаемое представляет собой объёмную плотность энергии электрического поля, а второе объёмную плотность энергии магнитного поля.



(11)


Подставляя известные значения:



  1. Найдём средний за период колебаний вектор Пойнтинга <> плоской гармонической электромагнитной волны.


(12)



{ т.к. <

=


Последний интеграл распадается на два интеграла, причём первый равен T, а второй обращается в 0, т.к.

}


Следовательно (учитывая, что T = :


(13)


Подставляя известные значения:



  1. Найдём среднее значение <s> плотности потока энергии, переносимой рассматриваемой волной.


Среднее за период колебаний значение плотности потока энергии:


(17)


где s – модуль вектора Пойнтинга


(14)


Подставляя известные величины:



  1. Найдём вектор плотности тока смещения :


(15)


где - вектор электрического смещения. В соответствии с материальными уравнениями , а в рассматриваемой задаче электромагнитная волна распространяется в вакууме, поэтому , тогда


(16)


(17)


Подставляя известные величины:



  1. Найдём среднее за период колебаний значение модуля плотности тока смещения <|>:

<|> =



<|> = (18)


Подставляя известное:


  1. Определим модуль импульса электромагнитной волны:

Плоская электромагнитная волна с объёмной плотностью энергии имеет в единице объёма отличный от нуля импульс. Соотношение между плотностью потока энергии s и импульсом в единице объёма электромагнитной волны в векторной форме имеет вид:


(19)


Модуль этой величины можно рассчитать по следующей зависимости:


(20)


Используя (11) получим:


(21)


Подставляя известное:



  1. Запишем волновое уравнение для магнитной и электрической компонент рассматриваемой волны и изобразим схематически мгновенную фотографию этой волны.


В общем виде:




где


В нашем случае:




(8) и (9) этим условиям удовлетворяют:


cos(



cos(


cos(



Чтобы изобразить мгновенную фотографию волны, зафиксируем какой-нибудь момент времени, пусть t = 0:


cos(


Случайные файлы

Файл
99825.rtf
50899.doc
32345.rtf
88777.doc
70051.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.