Применение сингулярной матрицы в химии (166322)

Посмотреть архив целиком

Применение сингулярной матрицы в химии

(Реферат)





О Г Л А В Л Е Н И Е



Введение 3

Глава 1. Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах 4

1.1. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения 4

1.2. Вычисление сингулярного разложения 5

Глава 2. Применение сингулярных матриц при многомерном анализе химических данных факторными методами 7

2.1. Общие сведения о факторных методах 7

2.2. Операции с матрицами и многомерный анализ данных 9

2.3. Свойства сингулярной матрицы 10

Заключение 12

Список используемой литературы 16









Введение



Как известно, химия часто оказывается на перекрестке разных дисциплин. Для химика всегда есть большой соблазн в том, чтобы заняться какой-то чрезвычайно узкой областью, где он останется защищенным от всех превратностей, наслаждаясь удобством положения единст­венного в своем роде специалиста. Чтобы постоянно быть в курсе дела и в готовности встретить любую новую ситуацию, химику требуется быть знако­мым с огромным объемом информации, необходимой не только для движения вперед, но и просто для сохранения своего положения.

При написании данного реферата была использована следующая литература, содержащая информацию о сингулярных матрицах и применении их в химии:

  • книга «ЭВМ помогает химии» (пер. с англ) под ред. Г. Вернена, М. Шанона, в которой рассмотрено применение ЭВМ в различных областях химии: синтез органических соединений, кристаллография, масс-спектрометрия и т. д.

  • книга Ч.Лоусона и Р.Хенсона «Численное решение задач метода наименьших квадратов» (пер. с англ), посвященная изложению численных решений линейных задач метода наимень­ших квадратов.





Глава 1. Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах

1.1. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения



В этом пункте данного реферата будет описано одно практически полезное ортогональ­ное разложение т x n - матрицы А. Мы покажем здесь, что невырожденную под­матрицу R матрицы A можно еще более упростить так, чтобы она стала невырожден­ной диагональной матрицей. Получаемое в результате разложение особенно полезно при анализе влияния ошибок входной информации на решение задачи НК.

Это разложение тесно связано со спектральным разложением симметрич­ных неотрицательно определенных матриц ATA и AAT.



Теорема (сингулярное разложение). Пусть А - m x n -матрица ранга k. Тогда существуют ортогональная m x m матрица U, ортогональ­ная n x n -матрица V и диагональная m x n -матрица S) такие, что

Матрицу S можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы составля­ли невозрастающую последовательность; все эти элементы неотрицательны и ровно k из них строго положительны.

Диагональные элементы S называются сингулярными числами А.

Доказательства данной теоремы приводить не имеет смысла во избежание нагромождения множества сложных математических выкладок, прямого отношения к теме, рассматриваемой в данном реферате, не имеющих. Ограничимся следующим численным примером, в котором дано сингулярное разложение матри­цы А вида:



1.2. Вычисление сингулярного разложения

Рассмотрим теперь построение сингулярного разложения т Х n - матрицы в предположении, что т > п. Сингулярное разложение будет вычислено в два этапа.

На первом этапе А преобразуется к верхней двухдиагональной матрице посредством последовательности (не более чем из n 1) преобразований Хаусхолдера



где



Трансформирующая матрица выбирается так, чтобы аннулировать элементы i + 1, ..., т столбца i; матрица Hi так, чтобы аннулировав элементы i + 1,.... п строки / - 1.

Заметим, что Qn - это попросту единичная матрица. Она включена, чтобы упростить обозначения; Qn также будет единичной матрицей при от = я, но при т > п она, вообще говоря, отличается от единичной.

Второй этап процесса состоит в применении специальным образом адап­тированного QR-алгоритма к вычислению сингулярного разложения матрицы

Здесь - ортогональные матрицы, a S диагональная.



Можно получить сингулярное разложение А:

Сингулярное разложение матрицы В будет получено посредством следующего итерационного процесса:

Здесь - ортогональные матрицы, а Bk- верхняя двухдиагональ­ная матрица для всех k.

Заметим, что диагональные элементы матрицы полученной непосред­ственно из этой итерационной процедуры, не являются в общем случае ни положительными, ни упорядоченными. Эти свойства обеспечиваются специальной последующей обработкой.

Сама итерационная процедура представляет собой (QR-алгоритм Фрэнсиса, адаптированный Голубом и Райншем к задаче вычисления сингулярных чисел.



Глава 2. Применение сингулярных матриц при многомерном анализе химических данных факторными методами

2.1. Общие сведения о факторных методах

Многомерный анализ данных играет все возрастающую роль во многих научных дисциплинах, включая науки о земле, жизнеобес­печении, в социологии, а также менеджменте. Однако в химии эти методы развивались не так быстро. Хотя основы методов были созданы в начале века, а области их применения были опре­делены в тридцатых годах , первые случаи их использова­ния отмечены только в шестидесятых годах. Действительно, наи­более часто применяемыми в хемометрике методами стали фактор­ный анализ (ФА), анализ (метод) главных компонент (МГК) и факторный дискриминантный анализ (ФДА).

Хемометрика преследует две цели :

  • извлечение максимума информации за счет анализа химиче­ских данных;

  • оптимальное планирование измерительных процедур и экспе­риментов.

Первая цель может быть подразделена на две:

1) описание, классификация и интерпретация химических данных;

2) моделирование химических экспериментов, процессов и их последующая оптимизация.

Из всего многообразия видов обработки наборов химических данных можно выделить некоторые наиболее характерные области применения:

  • многокомпонентный анализ спектрометрических или хромато-графических данных различных смесей. Цель анализа опреде­ление числа компонентов и иногда также их идентификация. Для решения задач, связанных с равновесиями в растворе и сложной кинетикой, используется факторный анализ;

  • поиск неизмеряемых факторов, отражающих те физико-хими­ческие свойства, которые оказываются слишком сложными для точного моделирования, например, таких, как:

а) времена задержки для хроматографии;

б) данные по химическому сдвигу;

в) константы равновесия и кинетические константы;

г) данные по степени превращения и селективности.

Интерпретация этих факторов может высветить новые явле­ния или подчеркнуть те физические свойства, которые помогут объяснить исходные наблюдения:

  • сведение наборов химических данных с большим числом пере­менных (которые часто коррелируют, а иногда и избыточны) к на­борам с меньшим числом независимых переменных. Каждая точ­ка будет характеризоваться меньшим числом новых переменных, которые затем могут быть использованы для модельных исследо­ваний. Этот метод можно применять для многокомпонентных природных продуктов со сложными физико-химическими свойства­ми (эфирные масла, продукты из сырой нефти и т. д.), а также для замеренных в ходе процесса наборов данных;

  • анализ многомерных наборов химических данных посредством графического представления объектов и переменных в векторном подпространстве с меньшим числом измерений. Подобное пред­ставление позволяет осуществить обзор всего набора данных для классификации объектов и объяснения их положения.

Цель данного пункта моего реферата введение в методы факторного анализа с рассмотрением его теоретических основ и практических приложений.

Факторный анализ (ФА), анализ главных компонент (МГК) и факторный дискриминантный анализ (ФДА) будут представлены на различных специально подобранных примерах, иллюстрирую­щих множество областей их применения.



2.2. Операции с матрицами и многомерный анализ данных

Применение линейной алгебры в анализе данных будет проил­люстрировано на примере УФ-спектроскопии сложной смеси. В соответствии с законом Ламберта Бера при данной частоте v полное поглощение образца, состоящего из l поглощающих компо­нентов, определяется как

, где – молярный коэффициент поглощения компонента j, а – молярная концентрация компонента j.

Если измерение проводится при п различных частотах, тогда единственное уравнение заменяется системой линейных уравнений

С использованием матриц следующую систему линейных урав­нений можно записать в виде:

Для дальнейшего упрощения выражения запишем матрицу поглощения (А) как произведение матриц коэффициентов экстинкции () и концентрации (С):

(A) = () (C)

Следует отметить, что матричные расчеты и их компьютерное применение дали тол­чок быстрому развитию многомерного анализа данных.



2.3. Свойства сингулярной матрицы

Матрица (X—Х)'(Х) —квадратная, симметричная и положи­тельно определенная. Такие матрицы проявляют некоторые свой­ства, особенно полезные при анализе данных:

  • собственные значения, действительные, а также положитель­ные или равные нулю;


Случайные файлы

Файл
143157.rtf
49505.rtf
2788-1.rtf
109268.doc
94902.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.