вариант 9 (4 задача) (4.9)

Посмотреть архив целиком

Задача № 38.


Частица массой падает на прямоугольный потенциальный порог высотой . Энергия частицы равна , причём . Найдите эффективную глубину проникновения частицы в область порога, то есть на расстоянии от границы порога до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз.


Решение:


На рисунке 1 показан вид потенциального порога:



Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для областей 1 и 2:


Для области 1: (1)


Для области 2: (2)


Или в виде:


(3)


(4)


где и . Заметим, что, так как мы рассматриваем случай, когда , то будет чисто мнимым. Решения дифференциальных уравнений (3) и (4) имеют вид:


(5)


(6)


Первое слагаемое выражения (5) соответствует падающей волне де Бройля частицы, второе слагаемое – отражённой волне. Первое слагаемое выражения (6) соответствует прошедшей дебройлевской волне частицы, других волн во второй области нет, поэтому . Тогда выражение (6) примет вид:

(7)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Из условия непрерывности пси-функций, имеем для точки :


(8)


Используя условие гладкости пси-функций в точке , получим:


(9)


Из уравнений (8) и (9) найдём:


(10)


(11)


Рассмотрим поток плотности вероятности. Он определяется также как и поток других физических величин: , где - скорость частицы, а - квадрат амплитуды пси-функции, который определяет плотность вероятности нахождения частицы. Учитывая, что , получим:


(12)


В нашем случае, для падающей, отражённой и прошедшей волн потоки плотности вероятности:


Для падающей волны: (13)


Для отражённой волны: (14)


Для прошедшей волны: (15)


Тогда мы можем найти коэффициенты отражения и пропускания:


Коэффициент отражения: (16)


Учитывая, что при чисто мнимое, имеем . Тогда коэффициент пропускания равен нулю. Но это не значит, что частица не может находиться в области 2. Поведение частицы в области 2 описывается пси-функцией (7), тогда плотность вероятности нахождения частицы равна:


(17)


Мы сделали замену . Пусть - эффективная глубина проникновения частицы в область потенциального порога, то есть такое расстояние от границы порога, на котором плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз. Тогда:


(18)


Учитывая, что , получим для эффективной глубины проникновения частицы в область потенциального порога выражение:</