вариант 8 (3 задача) (3.8)

Посмотреть архив целиком

Задача № 28.


Квантовый гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы в области , где - амплитуда классических колебаний.


Решение:


Квантовый гармонический осциллятор представляет собой частицу, находящуюся в потенциальном поле вида:


(1)


График потенциальной энергии изображён на рисунке 1:


Рисунок 1

В этом случае составляют уравнение Шредингера:


(2)


Это дифференциальное уравнение имеет решение только при дискретных значениях . Таким образом, энергия квантового гармонического осциллятора квантуется и может принимать следующие значения:


(3)


В основном состоянии квантовое число , поэтому энергия квантового гармонического осциллятора в основном состоянии равна:


(4)


Определим амплитуду классических колебаний:


(5)


Решения дифференциального уравнения (4) имеют вид:


(6)


где - полиномы Чебышева-Эрмита, которые определяются следующим образом:


(7)


где . Для основного состояния , имеем пси-функцию:


(8)


Квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности нахождения частицы:


(9)


Чтобы найти вероятность нахождения частицы в области нужно проинтегрировать (9) по пределам области:


(10)


Ответ:


.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.