Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач (Решение задач)

Посмотреть архив целиком

Задача 1. По каналу связи последовательно передано три знака. Описать пространство элементарных собы­тий и события:

  1. принят только первый знак;

  2. принят, по крайней мере, один знак;

  3. приняты два и только два знака;

  4. принято меньше двух знаков;

  5. принят один знак


Решение. Используем цифры 0, 1 для обозначения собы­тий: 0 - знак искажен, 1 - знак принят. Тогда простран­ство элементарных событий запишется в виде

  • Ω={000, 100,010,001, 110, 101,011, 111} и имеет раз­мерность восемь.

  • Событие A1 - принят только первый знак: A1 = {100};

  • Событие A2 - принят по крайней мере один знак:

  • A2 = {100 + 010 + 001 + 110 + 101 + 011 + 111} = Ω\{000};

  • Событие A3 - приняты два и только два знака: A3 =

{110 + 011 + 101};

Событие A4 - принято меньше двух знаков: A4 = {000 +
100 + 010 + 001};

Событие A5 — принят один знак: A5 = {100 + 010 + 001}.
Из полученных результатов следует, что

  1. события A1 и A3 - несовместные

  2. события A4, A3 - несовместные

  3. события A3, A5 - несовместные

  4. A5 влечет A4 (A5 A4)

  5. события A1 и A2 - совместны,

  6. A2 и A3, A1 и A4, A1 и A5, A2 и A4совместные;

  7. A1 A5 A4 ; A3 A2 ; A1 = A5 + A2.

Изобразим эти события на схеме Эйлера-Венна.(1.5)

Задача 2 Игральная кость брошена дважды.

  1. Описать пространство элементарных событий .

  2. Описать пространство элементарных событий, если его элементами служат суммы выпавших очков.

  3. Назвать элементы , составляющие события:

A-суммаочковравна7;

B - хотя бы на одной кости выпала 1;

C - сумма очков делится на 3.

4. Описать словами события:

D = {(11),(12),(21)};

E = {(46), (55), (64)}.

5. Изобразить события A, B, C, D, E на диаграмме
Эйлера-Венна.

Решение.

  1. Ω = {11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66},

2. Ω = {2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12}

3. A = {16,61,34, 43, 25, 52};

B = {11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61}

C = {12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66}.

D = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 2 ИЛИ 3 };

E = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 10}.

Задача 3 Даны две электрические схемы:



Описать событие: С = {ЦЕПЬ ЗAМКНУТA} для каждого случая.

Решение. Введем обозначения: событие A - контакт 1 за­мкнут; событие В - контакт 2 замкнут; событие С - цепь замкнута, лампочка горит.

  1. Для параллельного соединения цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, поэтому С = A + В;

  2. Для последовательного соединения цепь замкнута, ко­гда замкнуты оба контакта, поэтому С = A · В.

Задача. 1.1.4 Составлены две электрические схемы:

Событие A — цепь замкнута, событие A i - i–й кон­такт замкнут. Для какой из них справедливо соотноше­ние

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Решение. Для первой схемы A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению — произведение событий. Для второй схемы A = A1 • (A2 + A3 A4 A5). Сле­довательно, данное соотношение справедливо для второй схемы.


Задача. 1.1.5 Упростить выражение (A + B)(B + C)(C+ A).

Решение. Воспользуемся свойствами операций сложения и умножения событий.

(A + B)(B + C)(A + C) =

(AB + AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB + AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.


Задача. 1.1.6 Доказать, что события A,AB и A+B обра­зуют полную группу.


Решение. При решении задачи воспользуемся свойства­ми операций над событиями. В начале покажем, что эти события попарно несовместны.

A теперь покажем, что сумма этих событий дает простран­ство элементарных событий.


Задача. 1.1.7 С помощью схемы Эйлера–Венна проверить правило де-Моргана:


___ _ _

AB = A+B.

__

а) Заштриховано событие AB.

__ __

б) Событие A — вертикальная штриховка; событие B — горизонтальная штриховка. Событие

__ __

{A+B} — заштрихованная область.

Из сопоставления рисунков а) и в) следует:

___ _ _

AB = A+B.


Задача. 1.2.1 Сколькими способами можно рассадить 8 человек:

  1. В один ряд?

  2. За круглым столом?

Решение.

1. Искомое число способов равно числу перестановок из 8, т.е.

P8 = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320

2. Так как за круглым столом выбор первого человека не влияет на чередование элементов, то первым можно взять любого, а оставшихся упорядочим относительно выбранного. Это действие можно осуществить 8!/8 = 5040 способами.

Задача. 1.2.2 На курсе изучается 5 предметов. Скольки­ми способами можно составить расписание на субботу, ес­ли в этот день должны быть две различные пары?


Решение. Искомое число способов есть число размещений

из 5 по 2, так как нужно учесть порядок пар:

Задача. 1.2.3 Сколько экзаменационных комиссий, состо­ящих из 7 человек, можно составить из 15 преподавате­лей?

Решение. Искомое число комиссий (без учета порядка) — это число сочетаний из 15 по 7:


Задача. 1.2.4 Из корзины, содержащей двадцать прону­мерованных шаров выбирают на удачу 5 шаров. Опреде­лить число элементов пространства элементарных собы­тий этого опыта, если:

шары выбираются последовательно один за другим с возвращением после каждого извлечения;

шары выбирают один за другим, не возвращая;

выбирают сразу 5 шаров.

Решение.

Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар также равно 20 и т.д. Тогда число способов извлечь 5 шаров в этом слу­чае равно 20 · 20 · 20 · 20 · 20 = 3200000.

Число способов извлечь первый шар из корзины рав­но 20. Так как извлеченный шар после извлечения не вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар стало равно 19 и т.д. Тогда число способов извлечь 5 шаров без возвращения равно 20 · 19 · 18 · 17 · 16 = A52 0

Число способов извлечь из корзины 5 шаров сразу рав­но числу сочетаний из 20 по 5:

Задача. 1.2.5 Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.

Решение. На каждой кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Поэтому пространство элементарных со­бытий содержит 36 равновозможных исходов. Событию A благоприятствуют 11 исходов: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), поэтому


Задача. 1.2.6 На красных карточках написаны буквы у, и, я, к, ц, ф, н, на синих — буквы а, а, о, т, т, с, ч. После тща­тельного перемешивания, что вероятнее: с первого раза из букв на красных карточках составить слово «функция» или из букв на синих карточках слово «частота»?

Решение. Пусть событие A — наудачу составленное из 7 букв слово «функция», событие B — наудачу составлен­ное из 7 букв слово «частота». Так как упорядочиваются два множества из 7 букв, то число всех исходов для со­бытий A и B равно n = 7!. Событию A благоприятствует один исход m = 1, так как все буквы на красных карточ­ках различны. Событию B благоприятствуют m = 2! · 2! ис­ходов, так как буквы «а» и «т» встречаются дважды. Тогда P(A) = 1/7! , P(B) = 2! • 2! /7! , P(B) > P(A).

Задача. 1.2.7 На экзамене студенту предлагается 30 би­летов; в каждом билете два вопроса. Из 60 вопросов, вошед­ших в билеты, студент знает только 40. Найти вероят­ность того, что взятый студентом билет будет состо­ять

  1. из известных ему вопросов;

  2. из неизвестных ему вопросов;

  3. из одного известного и одного неизвестного вопроса.

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что на оба вопроса студент знает ответ; B — не знает ответа на оба вопроса; C — на один вопрос знает ответ, на другой — не знает. Выбор двух вопросов из 60 можно осуществить n = C260 = 602·59 = 1770 способами.

1. Имеется m = C240 = 402·39 = 780 возможностей выбора известных студенту вопросов. Тогда P(A) = mn = 1778700 = 0,44

2. Выбор двух неизвестных вопросов из 20 можно осуществить m = C220 = 202·19 = 190 способами. В таком случае

P(B) = mn = 1179700 = 0,11

3. Существует m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 способов выбрать билет с одним известным и одним неизвестным вопроcом. Тогда P(C) = 1870700 = 0,45.

Задача. 1.2.8 По трем каналам послана некоторая ин­формация. Каналы работают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что информация достигнет це­ли

  1. только по одному каналу;

  2. хотя бы по одному каналу.

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что инфор­мация достигает цели только по одному каналу; B — хотя бы по одному каналу. Опыт — передача информации по трем каналам. Исход опыта — информация достигла цели. Обозначим Ai — информация достигает цели по i-му каналу. Пространство элементарных событий имеет вид:






Событию A благоприятствуют 3 исхода:






Событию B благоприятствуют 7 исходов: все исходы, кро­меТогда n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 38 ; P(B) = 78.

Задача. 1.2.9 На отрезке единичной длины случайным об­разом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше 1/8.

Решение. По условию задачи искомому событию удовле­творяют все точки, появляющиеся на интервале (a; b).


Так как его длина s = 1 - 18 + 18 = 34, а длина всего отрезка S = 1, то искомая ве­роятность равна P = s/S = 3/14 = 0.75.


Задача. 1.2.10 В партии из n изделий k изделий являются бракованными. Для контроля выбирается m изделий. Най­ти вероятность того, что из m изделий l окажутся брако­ванными (событие А).

Решение. Выбор m изделий из n можно осуществить способами, а выбор l бракованных из k бракованных — способами. После выбора l бракованных изделий останется (m - l ) годных, находящихся среди (n - k) изделий. Тогда число исходов, благоприятствующих событию A, равно·

и искомая вероятность

Задача. 1.3.1 B урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар — цветной.

Решение. Пусть событие A — вынут красный шар, собы­тие B — вынут синий шар. Тогда события (A + B) — вынут цветной шар. Имеем P(A) = 13 50 = 12 , P(B) = 13 00 = 13. Так как

события A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) = 12 + 13 = 56 = 0.83.

Задача. 1.3.2 Вероятность того, что будет снег (событие A), равна 0.6, а того, что будет дождь (событие B), равна 0.45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом (событие AB) равна 0.25.

Решение. События A и B совместны, поэтому P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8

Задача. 1.3.3 B первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором — 3 белых и 9 черных шаров, в третьем — 6 бе­лых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.

Решение. Событие A — вынут белый шар из первого ящи­ка, B — из второго ящика, C – из третьего. Тогда P(A) = 122 = 16; P(B) = 132 = 14; P(C) = 162 = 12. Событие ABC — все вынутые

шары — белые. События A,B,C — независимые, поэтому

P(ABC) = P(A)·P(B)·P(C) = 16 · 14 · 12 = 418 = 0.02

Задача. 1.3.4 B электрическую цепь последовательно включены 5 элементов, работающие независимо друг от друга. Вероятность отказов первого, второго, третье­го, четвертого, пятого элементов соответственно равны 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (событие A).

Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один эле­мент. Событие Ai(i =1...5) — откажет i -й элемент. События

Задача. 1.3.5 Цепь состоит из независимых блоков, соеди­ненных в систему с одним входом и одним выходом.

Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятно­сти P 1 = 0.1; P2 = 0.2; P3 = 0.3; P4 = 0.4. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.

Решение. Если событие A — {СИСТЕМА НАДЕЖНА}, Ai — {i- й БЛОК РАБОТАЕТ БЕЗОТКАЗНО}, то A = (A1 + A2)(A3 + A4). События A1+A2, A3+A4 — независимые, события A1 и A2, A3 и A4 — совместные. По формулам умножения и сложения вероятностей

Задача. 1.3.6 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероят­ность того, что в течение часа станок не потребует вни­мания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго станка — 0.8, для третьего станка — 0.7.

Найти вероятность того, что в течение некоторого часа


Случайные файлы

Файл
138121.rtf
свордМ.doc
16650-1.rtf
41868.rtf
153358.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.