Программы, отчеты по лабораторным №3 и №7 (Лабораторная работа №3_1)

Посмотреть архив целиком







Московский Авиационный Институт

(Государственный Технический Университет)


Лабораторная работа №3.

Экспериментальное определение закона распределения случайной величины.

Вариант №8.














Выполнила студентка гр. 04-215

Малкова Екатерина


Проверил: Молчанов И.И.






Москва 2008

Цель работы: ознакомить студентов с методами оценивания параметров закона распределения случайной величины по ре­зультатам эксперимента и способом проверки гипотез о законе распределения с помощью критерия согласия хи-квадрат Пирсона.


Теоретическая справка.

Математическое ожидание

Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число

,

то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. Если случайная величина X принимает значения . Тогда справедливо равенство

,

Пусть X — случайная величина, M(X) — её математическое ожидание, a — некоторое число. Тогда

  1. M(a) = a;

  2. ;

  3. .

Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по a при a = M(X). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .

Дисперсией случайной величины X называется число

.

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

Пусть X — случайная величина, a и b — некоторые числа, Y = aX + b. Тогда

D(Y) = a2D(X).

.

Пусть — попарно независимые случайные величины (то есть Xi и Xj независимы, если ). Пусть Yk — их сумма, , тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых,

.

Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,

.

Хи-квадрат Пирсона.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения.

Распределение Пирсона χ2 (хи-квадрат) — распределение случайной величины

,

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, то есть n, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.

n=30 Смоделирована выборка, состоящая из элементов:

0.556

0.231

1.096

2.260

0.502

0.630

1.026

2.392

0.124

2.277

1.406

1.074

0.689

0.221

-0.318

1.471

3.351

0.532

0.179

0.336

-0.220

0.072

-0.289

2.571

-0.340

0.389

2.148

1.715

-0.210

-0.297

Вариационный ряд выборки:

-0.340

-0.318

-0.297

-0.289

-0.220

-0.210

0.072

0.124

0.179

0.221

0.231

0.389

0.336

0.502

0.532

0.556

0.630

0.689

1.026

1.074

1.096

1.406

1.471

1.715

2.148

2.260

2.277

2.392

2.571

3.251


Общие характеристики набора реализаций:

число реализаций n=30

минимальное значение xmin=-0.3398

максимальное значение xmax=3.3512


Найти закон распределения исследуемой случайной величины, если известно, что он может быть

-нормальным (гауссовским);

-равномерным на некотором интервале;

-экспоненциальным.


Оценка математического ожидания: 0.852

Оценка дисперсии: 1.422

Оценка среднего квадратического отклонения: 1.192



Таблица данных для построения гистограммы (интервал [xmin, xmax] разбит на 8 подынтервалов)


Интервал

Частота

Гистограмма

[-0.34; 0.12]

0.233

0.506

[0.12; 0.58]

0.300

0.650

[0.58; 1.04]

0.100

0.217

[1.04; 1.51]

0.133

0.289

[1.51; 1.97]

0.033

0.072

[1.97; 2.43]

0.133

0.289

[2.43; 2.89]

0.033

0.072

[2.89; 3.35]

0.067

0.144


Для проверки предлагаются следующие гипотезы; о законе распределения случайной величины:

Гипотеза 1 - нормальное распределение;

Гипотеза 2 - равномерное распределение;

Гипотеза 3 - экспоненциальное распределение;


Из формы гистограммы можно предположить, что данное распределение является экспоненциальным. Проверим третью гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона


Таблица вероятностей попадания в подынтервалы


Интервал

Вероятность

[-0.34; 0.12]

0.321

[0.12; 0.58]

0.218

[0.58; 1.04]

0.148

[1.04; 1.51]

0.101

[1.51; 1.97]

0.068

[1.97; 2.43]

0.046

[2.43; 2.89]

0.031

[2.89; 3.35]

0.021


Вероятность попадания левее хmin равна 0.0000

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0452

Значение статистики критерия Пирсона g=13.461

Число степеней свободы равно 7


r

P

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,70

0,50

0,30

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

7

1,239

1,564

2,17

2,83

3,82

4,67

6,35

8,38

9,80

12,02

14,07

16,62

18,48

24,30


Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу можно принять на уровне значимости 0.05, т.к. 13.461<14.07


Чтобы убедиться в правильности выбранной гипотезы, проверим первую и вторую гипотезы по критерию хи-квадрат Пирсона.


Проверим первую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона


Таблица вероятностей попадания в подынтервалы.


Интервал

Вероятность

[-0.34; 0.12]

0.106

[0.12; 0.58]

0.124

[0.58; 1.04]

0.205

[1.04; 1.51]

0.124

[1.51; 1.97]

0.111

[1.97; 2.43]

0.080

[2.43; 2.89]

0.049

[2.89; 3.35]

0.026


Вероятность попадания левее xmin равна 0.1568

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0180

Значение статистики критерия Пирсона g=28.967

Число степеней свободы равно 7


r

P

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,70

0,50

0,30

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

7

1,239

1,564

2,17

2,83

3,82

4,67

6,35

8,38

9,80

12,02

14,07

16,62

18,48

24,30


Из таблицы распределения хи-квадрат Пирсона можно увидеть, что данную гипотезу нельзя принять ни на каком уровне значимости, т.к. 28.967>24.30


Проверим вторую гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона


Таблица вероятностей попадания в подынтервалы


Интервал

Вероятность

[-0.34; 0.12]

0.125

[0.12; 0.58]

0.125

[0.58; 1.04]

0.125

[1.04; 1.51]

0.125

[1.51; 1.97]

0.125

[1.97; 2.43]

0.125

[2.43; 2.89]

0.125

[2.89; 3.35]

0.125


Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000

Значение статистики критерия Пирсона g=15.200

Число степеней свободы равно 7


r

P

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,70

0,50

0,30

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

7

1,239

1,564

2,17

2,83

3,82

4,67

6,35

8,38

9,80

12,02

14,07

16,62

18,48

24,30


Случайные файлы

Файл
146070.doc
70607-1.rtf
100190.rtf
14127-1.rtf
114258.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.