Теория вероятностей и мат. статистика. Курсовая (ТВиМС)

Посмотреть архив целиком

13



МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ).











Курсовая работа

по теории вероятности и математической статистике

на тему

"Метод наименьших квадратов".

















Научный руководитель: Сиротин А. Н.

Студент: Полунин В. Ю.

Группа: 05-211



Москва. 2001г.

План курсовой работы.


Исходные данные. ----------------------------------------------------------------------------------- стр. 3.


Этап 1. Моделирование измерений -------------------------------------------------------------- стр. 3.


Этап 2. Оценки МНК. ------------------------------------------------------------------------------- стр. 6.


Этап 3. Доверительные интервалы. ------------------------------------------------------------- стр. 11.


Список используемой литературы. ------------------------------------------------------------- стр. 13.










































Исходные данные:


Вариант (К) – 17.

N=41.

=K*10-3=0.017.

=К*10-2=0,17.

b1=[K/2]=8.

b2=[K/3]=5.

b3=[K/5]=3.

=0.1.


Этап 1. Моделирование измерений.


Задание:

Исследуется модель измерений: yi = b1 + b2*ti + b3*t2i , где b1, b2, b3 - постоянные параметры, yi - наблюдаемая величена, ti = (i - 21) - моменты времени, в которых проводится измерения, - шаг по времени, i~N(0,2) - независимые ошибки измерений, N - количество измерений.

Используя исходные данные (стр. 3.), смоделировать результаты измерений, пользуясь таблицами или ЭВМ для моделирования реализаций независимых нормально распределенных величин i*~ N(0,1) и представлением i =*i. Заполнить таблицу.


Решение:

Значение параметра i* берем из учебника – Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982г.

Метод наименьших квадратов - один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. Применяется при обработке наблюдений. Является наиболее распространенных методов статистической обработки экспериментальных данных. Разработан, в основном еще К. Гауссом и А. Марковым. МНК допускает простую геометрическую интерпретацию, так как напрямую связан с проектированием в конечном евклидовом пространстве на некоторое его подпространство. Евклидово пространство это n – мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, элементы которого u=(u1,…,un)T и v=(v1,…,vn)T складываются и умножаются на действительные числа по обычным законам, естественным правилам, а скалярное произведение задается соотношением (u,v)=u1v2+u2v2+…+unvn. Скалярное произведение векторов a и b – число (скаляр) (a,b) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. (a,b) = |a|*|b|*cos.

МНК используется для отыскания приближенных зависимостей между изучаемыми экспериментальными величинами. Предположим требуется найти зависимость между наблюдаемыми величинами, не обязательно случаемыми. Для этого обычно выбирают подходящую функцию, зависящую от некоторых параметров и подбирают параметры так, чтобы сумма квадратов ошибок приближенной зависимости во всех экспериментальных точках была минимальной (У-У^)2=min). В этом и состоит метод наименьших квадратов.


Модель измерений. Предположим, что переменная у является функцией переменных х12,…,хn: у =f1, х2,…, хn). Данное соотношение часто сравнивается с некоторым техническим объектом, для которого переменные х1, х2,…, хn (в данной курсовой работе - 1, t, t2) являются входными параметрами, у - выходной параметр, f - неизвестная характеристика объекта. Но можно осуществить некоторое количество опытов (41) позволяющих по заданным значениям входных параметров (1, t, t2) получить соответствующее значение выходного параметра. В данной курсовой работе рассматривается полиномиальная аппроксимация (т.е. замена одних объектов другими более простыми), то есть функция вида y = b1 + b2*t + b3*t2.

В данной части курсовой работы функция f известна - yi = b1 + b2*ti + b3*t2i, и есть независимые ошибки i. Другими словами - в первом этапе проведение опыта сводится к расчету yi , который представляет собой следующую стохастическую (случайный, вероятностный) функцию: yi=b1+b2*ti+b3*ti2+i.

Рассчитываем и заполняем таблицу №1.







































Таблица №1. Расчет параметра yi.

i

ti

i=i*

b1+b2*ti+b3*ti2

yi=b1+b2*ti+b3*ti2+i

i*

1

-3,4

0,00789

25,68000

25,68789

0,464

2

-3,23

0,00233

23,14870

23,15103

0,137

3

-3,06

0,04174

20,79080

20,83254

2,455

4

-2,89

-0,00549

18,60630

18,60081

-0,323

5

-2,72

-0,00116

16,59520

16,59404

-0,068

6

-2,55

0,00503

14,75750

14,76253

0,296

7

-2,38

-0,00490

13,09320

13,08830

-0,288

8

-2,21

0,02207

11,60230

11,62437

1,298

9

-2,04

0,00102

10,28480

10,28582

0,060

10

-1,87

-0,03835

9,14070

9,10235

-2,256

11

-1,7

-0,00903

8,17000

8,16097

-0,531

12

-1,53

-0,00330

7,37270

7,36940

-0,194

13

-1,36

0,00923

6,74880

6,75803

0,543

14

-1,19

-0,02649

6,29830

6,27181

-1,558

15

-1,02

0,00318

6,02120

6,02438

0,187

16

-0,85

-0,02023

5,91750

5,89727

-1,190

17

-0,68

0,02526

5,98720

6,01246

1,486

18

-0,51

-0,00602

6,23030

6,22428

-0,354

19

-0,34

-0,01078

6,64680

6,63602

-0,634

20

-0,17

0,01185

7,23670

7,24855

0,697

21

0

0,01574

8,00000

8,01574

0,926

22

0,17

0,02338

8,93670

8,96008

1,375

23

0,34

0,01335

10,04680

10,06015

0,785

24

0,51

-0,01637

11,33030

11,31393

-0,963

25

0,68

0,01737

12,78720

12,80457

1,022

26

0,85

-0,00802

14,41750

14,40948

-0,472

27

1,02

0,02174

16,22120

16,24294

1,279

28

1,19

0,05986

18,19830

18,25816

3,521

29

1,36

0,00971

20,34880

20,35851

0,571

30

1,53

-0,03147

22,67270

22,64123

-1,851

31

1,7

0,00330

25,17000

25,17330

0,194

32

1,87

0,02026

27,84070

27,86096

1,192

33

2,04

0,02370

30,68480

30,70850

1,394

34

2,21

-0,00944

33,70230

33,69287

-0,555

35

2,38

0,00078

36,89320

36,89398

0,046

36

2,55

0,00546

40,25750

40,26296

0,321

37

2,72

0,05007

43,79520

43,84527

2,945

38

2,89

0,03356

47,50630

47,53986

1,974

39

3,06

-0,00439

51,39080

51,38641

-0,258

40

3,23

0,00700

55,44870

55,45570

0,412

41

3,4

0,01540

59,68000

59,69540

0,906


Этап 2. Оценка МНК.


Задание:

Ввести обозначения



y1


1 t 1 t12


b1


1


y =

RN, Х Т=

RN*3, b=

b2

, =



yN


1 t N tN2


b3


N



и получить модель измерений в матричном виде y = ХТb + , где N) – нормально распределенный случайный вектор ошибок измерений, N RN*N – единичная матрица.

Используя МНК и таблицу результатов измерений из этапа 1, получить оценки: b^ вектора параметров b и ^ дисперсии ошибок.


Решение:

Статистика - любая функция результатов опытов, которая не зависит от неизвестных статистических характеристик. Оценкой статистической характеристики называется статистика, реализация которой, полученная в результате опытов, принимается за неизвестное истинное значение параметра . Если математическое ожидание оценки равно характеристике , то оценка несмещенная. Разность М^- - смещение оценки. Оценка статистической характеристики называется состоятельной, если она сходится по вероятности к при неограниченном увеличении опытов.

Проведя серию “опытов” в первом этапе, получили значение выходного параметра y и значение входных параметров 1, t, t2. Теперь по этим данным найдем значения коэффициентов b^ в аппроксимации yi = b1^ + b2^*ti + b3^*t2i, то есть оценку b^ вектора параметров b. По известным входным и выходным параметрам найдем коэффициенты b1^, b2^, b3^ при входных параметрах 1, t, t2 соответственно, которые будут составлять вектор оценок вектора b и или (что одно и тоже) будут точечными оценками параметров b1, b2, b3 в исходном уравнении yi=b1+b2*ti+b3*ti2+i. Так как значение yi, ti, ti2, i переменных в i-ом по счету опытах, то уравнение yi=b1+b2*ti+b3*ti2+i можно записать в виде системы уравнений:

y1=b1+b2*t1+b3*t12+1

y2=b1+b2*t2+b3*t22+2



yn=b1+b2*tn+b3*tn2+n


Или их можно записать в векторной записью: y = ХТb + , где N) – нормально распределенный случайный вектор ошибок измерений такой что, Е=0, К=Е(Т)= N, N RN*N – единичная матрица, параметр b=( b1, b2, b3)Т R3, ХТ=||Хij|| R3XN.

Коэффициенты b1^, b2^, b3^ должны быть такими, чтобы вектор у – у^= у - b1^ + b2^*t + b3^*t2, рассматриваемый как элемент евклидового пространства, имел наименьшую длину. Решение этой задачи известно по курсу линейной алгебры. Искомый вектор у^= b1^ + b2^*t + b3^*t2, является ортогональной проекцией вектора у на подпространство, порожденной векторами 1, t, t2 (х12,…,хn), так что скалярное произведение разности у – у^ с каждым из векторов 1, t, t2 (х12,…,хn) равно нулю: (хi,у – у^)=0 (i=1,2,…,m). Данное соотношение выражает необходимое и достаточное условие минимума длины вектора у – у^. Перепишем их в виде системы относительно искомых уравнений:


11)b^1+(x1,x2)b^2+…+(x1,xm)b^m=(x1,y)

21)b^1+(x2,x2)b^2+…+(x2,xm)b^m=(x2,y)

m1)b^1+(xm,x2)b^2+…+(xm,xm)b^m=(xm,y)


Данная система всегда совместна и однозначно определяет вектор у^=b11+b2^x2+…+bm^xm, хотя сами коэффициенты b1^, b2^, …, bm^ могут находиться и неоднозначно – если векторы х1, x2, …, xm линейно не зависимы.

Матрица



(X1,X1)

(X1,X2)

(X1,Xm)

A =

(X2,X1)

(X2,X2)

(X2,Xm)



(Xm,X1)

(Xm,X2)

(Xm,Xm)


Называется матрицей Грамма для системы векторов х1, x2, …, xm. Эта матрица является невырожденной в том и только том случае, если х1, x2, …, xm - линейно не зависимая система. Для удобства вводим матрицу:


X11

X12

X1n

X =

X21

X22

X2n



Xm1

Xm2

Xmn

Тогда систему уравнений можно переписать в виде так называемой нормальной системы уравнений:


ХХТb^=Ху или

Аb^=Ху, где

А=ХХТ так как предположили, что вектора линейно не зависимы, а значит detA, получаем

b^=A-1Ху.


Расчет оценки b^ вектора параметров b.

Уравнение yi = b1^ + b2^*ti + b3^*t2i можно записать в матричном виде y = ХТb^, где параметр b^=( b1^, b2^, b3^)Т R3 неизвестный, параметры y=( y1, y2,…, yN ) RN и ХТ=||Хij|| R3XN - получены в этапе 1 и представлены в таблице №2.

Решением данного уравнения будет уравнение в матричной форме b^=А-1Ху, где А=ХХТ. Матрицы А-1 будет рассчитываться как А-1 = (1/detA) А*, где detA - определитель матрицы, А* - присоединенная матрица. Для расчета матрицы А-1 воспользуемся таблицей №3. Перемножим сначала матрицы Х и у, а затем полученную матрицу умножим на матрицу А-1.


200250

0

-27518

A*=

0

21975,2

0


-27518,2

0

6801,33


Матрица А: Матрица А* - присоединенная:


41

0,00

165,886

A =

0,00

165,886

0


165,886

0

1207,16


Матрица А-1:


0,05493259

0

-0,00755

A-1=

0

0,00603

0


-0,0075488

0

0,00187


det A=

3645381,4

Определитель матрица А:


Произведение матриц Ху:


825,913

Xу =

829,793


4950,02


Расчет оценки вектора параметров b.


0,05493

0

-0,0075


825,913


8,00295

b^ =

0

0,00603

0

*

829,793

=

5,00219


-0,00755

0

0,00187


4950,02


3,00081


Так как y = ХТb + и b^=A-1Ху, то

b^=A-1ХТb + )=b+ A-1Х, b^ - является не смещенной оценкой вектора b.


Оценка b^ вектора параметров b: b1^=8.00295; b2^=5.00219; b3^=3.00081;

Или в матричной форме: b^=(8.00295; 5.00219; 3.0081)Т;


Определение оценки 2^ дисперсии ошибок 2.

Пусть S2=(у - у^)T(у - у^). Учитывая, что у - у^=(In-XTA-1X) и принимая во внимание, что матрица Н= In-XTA-1X симметрична и идемпотентна, получаем S2=T(In-XTA-1X). Будем считать, что Н=||hij||, тогда ЕS2=E(TH)=E(hijij)=hijE(ij)=Hii2=2trH, где символом trH обозначают след матрицы Н.

Известно, что след матрицы совпадает с суммой ее собственных чисел. Для того чтобы найти trH заметим, что матрица XTA-1X (как и сама матрица Н) симметрична и идемпотентна. Поэтому ее собственными числами могут быть только нули и единицы, причем число единиц должно совпадать с рангом, равным m – числу неизвестных параметров b1, b2, …, bm. Отсюда следует, что trH= tr(In-XTA-1X)=n-m. Тогда ЕS2=( n-m)2.

Значит, оценка дисперсии 2 рассчитывается по формуле 2^=S2/(n-m). Статистика S2/(n-m) говорит о том, что оценка 2^ несмещенная оценка дисперсии 2.

Расчет 2^ оценка дисперсии 2.

S2=(у - у^)T(у - у^)=(у - у^)2; Рассчитываем при помощи таблицы №3.

n – число измерений;

m – число элементов b в уравнении;

2^=0.01514/(41-3)=0.000398;








Таблица №2. Матрицы y, ХТ, b, 


25,68789


1

-3,4

11,56


8


0,008


23,15103


1

-3,23

10,432

b =

5

=

0,002


20,83254


1

-3,06

9,3636


3


0,042


18,60081


1

-2,89

8,3521




-0,005


16,59404


1

-2,72

7,3984




-0,001


14,76253


1

-2,55

6,5025




0,005


13,08830


1

-2,38

5,6644




-0,005


11,62437


1

-2,21

4,8841




0,022


10,28582


1

-2,04

4,1616




0,001


9,10235


1

-1,87

3,4969




-0,038


8,16097


1

-1,7

2,89




-0,009


7,36940


1

-1,53

2,3409




-0,003


6,75803


1

-1,36

1,8496




0,009


6,27181


1

-1,19

1,4161




-0,026


6,02438


1

-1,02

1,0404




0,003


5,89727


1

-0,85

0,7225




-0,020


6,01246


1

-0,68

0,4624




0,025


6,22428


1

-0,51

0,2601




-0,006


6,63602


1

-0,34

0,1156




-0,011


7,24855


1

-0,17

0,0289




0,012

y =

8,01574

XT =

1

0

0




0,016


8,96008


1

0,17

0,0289




0,023


10,06015


1

0,34

0,1156




0,013


11,31393


1

0,51

0,2601




-0,016


12,80457


1

0,68

0,4624




0,017


14,40948


1

0,85

0,7225




-0,008


16,24294


1

1,02

1,0404




0,022


18,25816


1

1,19

1,4161




0,060


20,35851


1

1,36

1,8496




0,010


22,64123


1

1,53

2,3409




-0,031


25,17330


1

1,7

2,89




0,003


27,86096


1

1,87

3,4969




0,020


30,70850


1

2,04

4,1616




0,024


33,69287


1

2,21

4,8841




-0,009


36,89398


1

2,38

5,6644




0,001


40,26296


1

2,55

6,5025




0,005


43,84527


1

2,72

7,3984




0,050


47,53986


1

2,89

8,3521




0,034


51,38641


1

3,06

9,3636




-0,004


55,45570


1

3,23

10,432




0,007


59,69540


1

3,4

11,56




0,015



Таблица №3. Вспомогательные расчеты для матрицы А-1, произведения матриц Х и У, оценки 2^.

1

ti

ti2

ti3

ti4

У

у*t

у*t2

У^

У-У^

(У-У^)2

1

-3,40

11,560

-39,30400

133,63360

25,68789

-87,33882

296,95199

25,68485

0,00304

0,00001

1

-3,23

10,433

-33,69827

108,84540

23,15103

-74,77782

241,53237

23,15301

-0,00198

0,00000

1

-3,06

9,364

-28,65262

87,67700

20,83254

-63,74756

195,06752

20,79462

0,03791

0,00144

1

-2,89

8,352

-24,13757

69,75757

18,60081

-53,75634

155,35582

18,60968

-0,00887

0,00008

1

-2,72

7,398

-20,12365

54,73632

16,59404

-45,13580

122,76938

16,59818

-0,00413

0,00002

1

-2,55

6,503

-16,58138

42,28251

14,76253

-37,64446

95,99336

14,76012

0,00241

0,00001

1

-2,38

5,664

-13,48127

32,08543

13,08830

-31,15016

74,13739

13,09552

-0,00722

0,00005

1

-2,21

4,884

-10,79386

23,85443

11,62437

-25,68985

56,77457

11,60436

0,02000

0,00040

1

-2,04

4,162

-8,48966

17,31891

10,28582

-20,98307

42,80547

10,28665

-0,00083

0,00000

1

-1,87

3,497

-6,53920

12,22831

9,10235

-17,02139

31,83000

9,14238

-0,04004

0,00160

1

-1,70

2,890

-4,91300

8,35210

8,16097

-13,87365

23,58521

8,17157

-0,01059

0,00011

1

-1,53

2,341

-3,58158

5,47981

7,36940

-11,27519

17,25103

7,37419

-0,00479

0,00002

1

-1,36

1,850

-2,51546

3,42102

6,75803

-9,19092

12,49965

6,75027

0,00776

0,00006

1

-1,19

1,416

-1,68516

2,00534

6,27181

-7,46346

8,88152

6,29979

-0,02798

0,00078

1

-1,02

1,040

-1,06121

1,08243

6,02438

-6,14487

6,26776

6,02276

0,00162

0,00000

1

-0,85

0,723

-0,61413

0,52201

5,89727

-5,01268

4,26078

5,91917

-0,02190

0,00048

1

-0,68

0,462

-0,31443

0,21381

6,01246

-4,08847

2,78016

5,98904

0,02343

0,00055

1

-0,51

0,260

-0,13265

0,06765

6,22428

-3,17438

1,61894

6,23234

-0,00806

0,00006

1

-0,34

0,116

-0,03930

0,01336

6,63602

-2,25625

0,76712

6,64910

-0,01308

0,00017

1

-0,17

0,029

-0,00491

0,00084

7,24855

-1,23225

0,20948

7,23930

0,00925

0,00009

1

0,00

0,000

0,00000

0,00000

8,01574

0,00000

0,00000

8,00295

0,01279

0,00016

1

0,17

0,029

0,00491

0,00084

8,96008

1,52321

0,25895

8,94004

0,02003

0,00040

1

0,34

0,116

0,03930

0,01336

10,06015

3,42045

1,16295

10,05059

0,00956

0,00009

1

0,51

0,260

0,13265

0,06765

11,31393

5,77010

2,94275

11,33457

-0,02064

0,00043

1

0,68

0,462

0,31443

0,21381

12,80457

8,70711

5,92084

12,79201

0,01257

0,00016

1

0,85

0,723

0,61413

0,52201

14,40948

12,24805

10,41085

14,42289

-0,01341

0,00018

1

1,02

1,040

1,06121

1,08243

16,24294

16,56780

16,89916

16,22722

0,01572

0,00025

1

1,19

1,416

1,68516

2,00534

18,25816

21,72721

25,85538

18,20499

0,05316

0,00283

1

1,36

1,850

2,51546

3,42102

20,35851

27,68757

37,65509

20,35622

0,00229

0,00001

1

1,53

2,341

3,58158

5,47981

22,64123

34,64109

53,00086

22,68088

-0,03965

0,00157

1

1,70

2,890

4,91300

8,35210

25,17330

42,79461

72,75083

25,17900

-0,00570

0,00003

1

1,87

3,497

6,53920

12,22831

27,86096

52,10000

97,42701

27,85056

0,01040

0,00011

1

2,04

4,162

8,48966

17,31891

30,70850

62,64534

127,79649

30,69557

0,01293

0,00017

1

2,21

4,884

10,79386

23,85443

33,69287

74,46123

164,55932

33,71402

-0,02116

0,00045

1

2,38

5,664

13,48127

32,08543

36,89398

87,80768

208,98227

36,90593

-0,01194

0,00014

1

2,55

6,503

16,58138

42,28251

40,26296

102,67054

261,80988

40,27127

-0,00832

0,00007

1

2,72

7,398

20,12365

54,73632

43,84527

119,25912

324,38481

43,81007

0,03520

0,00124

1

2,89

8,352

24,13757

69,75757

47,53986

137,39019

397,05765

47,52231

0,01755

0,00031

1

3,06

9,364

28,65262

87,67700

51,38641

157,24243

481,16183

51,40800

-0,02158

0,00047

1

3,23

10,433

33,69827

108,84540

55,45570

179,12192

578,56381

55,46713

-0,01143

0,00013

1

3,40

11,560

39,30400

133,63360

59,69540

202,96437

690,07885

59,69971

-0,00431

0,00002

Сумма для определения матриц.

 

41

0,00

165,886

0

1207,156

825,9128

829,7926

4950,019

 

0,000000

0,01514

1

ti

ti2

ti3

ti4

У

у*t

у*t2

У^

У-У^

(У-У^)2







Этап 3. Доверительные интервалы.


Задание:

Используя точечные оценки b1^, b2^, b3^, ^ и результаты измерений, построить доверительные интервалы для b1, b2, b3, , соответствующие уровню значимости =0,1


Решение:

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и не зависящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероятностью накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику , называется доверительным интервалом для этой характеристики, соответствующим интервалом доверия .

Так как N), то можно найти не только точечные оценки, но и интервальные оценки неизвестных параметров. Так как выполняется условия:

y = ХТb +

Е=0, К=Е(Т)= N

Аb^=Ху

detA0, то

S2(b)=(у-ХТb)T(у-ХТb);

S2(b^)=(у-ХТb^)T(у-ХТb^);

T2= S2(b) - S2(b^). Тогда

b^N(b;2A-1);

S2(b^)/22(n-m);

T2/22(m).

При этом b2^ и S2(b^), а также S2(b) и T2 независимы.

2(r) – хи квадрат распределение с r степенями свободы. То есть распределение случайной величины 12+22+…+r2 (0;1,2,…,n,n+1,…,n+m – независимые и одинаково распределенные по закону N(0;1) случайные величины).

Отсюда вытекает, что

P(S2(b^)/21-/2,n-m<< S2(b^)/2/2,n-m )=1-, где

2n – квантиль уровня для 2-распределения с n степенями свободы.


Далее, ((bi^ - bi)/cii)/(S2(b^)/n-m) = n-m*(bi^-bi)/ciiS(b^) t(n-m), где

cii – обозначает (i,i)–й элемент матрицы А-1, а символ t(n-m) – распределение Стьюдента с n-m степенями свободы, распределение случайной величены n) (0;1,2,…,n,n+1,…,n+m – независимые и одинаково распределенные по закону N(0;1) случайные величины).

Отсюда

Р(bi^-t1-/2,n-m*ciiS(b^)/n-m<bi< bi^+t1-/2,n-m*ciiS(b^)/n-m )=1-, где

t,n – квантиль уровня для распределения Стьюдента с n степенями свободы.


Расчет доверительного интервала .

По формуле:

P(S2(b^)/21-/2,n-m<< S2(b^)/2/2,n-m )=1-, где

S2(b^) - значение берем из этапа 2 (Таблица №3 (У-У^)2).

21-/2,n-m, 2/2,n-m - квантиль уровня 0,95 (0,05) для 2 распределения с 38 степенями свободы и равно 53,38351 (24,88389) соответственно.b

P(S2(b^)/20.95,38<< S2(b^)/20.05,38 )=0,9;

P(0,000284<<0,000608)=0,9;


Доверительный интервал для - 0,000284<<0,000608.



Определяем доверительный интервал для b1, b2, b3.

По формуле:

Р(bi^ - t1-/2,n-m*Ci|iS(b^)/n-m<bi< bi^+t1-/2,n-m*Ci|iS(b^)/n-m)=1-;

t1-/2,n-m – распределение Стьюдента с n-m степенями сободы.

t0.95,38=2,04227;

S(b^) – значение берем из этапа 2 S(b^)= S2(b^)=0,123044707;

Ci|i – соответствующий элемент матрицы А-1 значение берем из этапа 2;


Р(bi^ - 2,04227*Ci|i0,123044707/38<bi< bi^+2,04227*Ci|i*0,123044707/38)=0,9;


Доверительный интервал для b1:

8,00071< b1<8.005188

Доверительный интервал для b2:

5.00194< b2<5.002432

Доверительный интервал для b3:

3.000731< b1<3.000883





























Список используемой литературы.


1. Кочетков Е. С. Метод наименьших квадратов: Учебное пособие. М. Изд-во МАИ, 1993г.


2. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука, 1979г.


3. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М. Наука, 1982г.



Случайные файлы

Файл
26533-1.rtf
титул.doc
164965.doc
46151.rtf
diplom.doc