Курсовые по ТВиМС (ТВИМС-~4)

Посмотреть архив целиком

Московский Авиационный

Институт



Отчет по лабораторной работе №1

по курсу:

Теория вероятностей и

Математическая статистика.


на тему:

«Изучение центральной предельной теоремы»



Вариант: 3


Работу выполнил:

студент гр. 04-215


Работу проверил:

Доц. кафедры 804

Шин Г. З.

Краткие теоретические сведения:

Цель работы - экспериментальное изучение скорости сходимости закона распределения суммы независимых случайных величин к нормальному закону распределения и влияния на скорость сходимости вида закона распределения слагаемых.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ:

П
усть
X1 , ..., Xm- независимые одинаково распределенные случайные величины с параметрами М[Хk] = a-Dk] Тогда согласно центральной предельной теореме [Л] нормиро-ванная и центрированная сумма

п
ри достаточно большом числе слагаемых
m имеет закон распределения, практически совпадающий со стандартным нормальным законом распределения вне зависимости от конкретного вида закона распределения слагаемых [Xk]. так как для любого действительного x выполнено предельное соотношение

Скорость сходимости закона распределения суммы Sm к нормальному закону распределения при m зависит, однако, от конкретного вида распределения [Xk] .

Для практического решения о приемлемости гипотезы нормальности суммы Sm при заданном конкретном распределении слагаемых {Xk} и конечном m можно использовать следующий подход:


1) Смоделировать выборку {Smk}, k= 1, ..., n достаточно большого объема;


2) Проверить гипотезу о том, что выборка соответствует нормальному стандартному распределению N(0,1), по критерию согласия хи-квадрат Пирсона или критерию Колмогорова.


Центральная предельная теорема имеет огромное практическое значение, так как обосновывает то особое положение, которое занимает нормальный закон распределения в разнооб-разных прикладных задачах.

ЗАДАНИЕ:

1. Методом моделирования, увеличивая последовательно число слагаемых m в сумме Sm , определить число m*, при котором сумма m* равномерно распределенных на [0,1] слагаемых может считаться нормально распределенной.

2. Определить m*, когда слагаемые имеют показательное (экспоненциальное) распределение с параметром = 1.

3. Выяснить зависимость m* от объема n моделируемой выборки суммы Sm и закона распределения слагаемых.

  1. 1 этап -Для нормального распределения:


Число реализаций суммы n = 50;

Число суммируемых случайных величин = 1;

Минимальное значение xmin= -1.6520;

Максимальное значение xmax= 1.6654;

Оценка математического ожидания : 0.170;

Оценка дисперсии: 0.880;

Оценка среднего квадратического отклонения: 0.938;


Интервал

Частота

Гистограмма

[-1.66;-1.24]

0.100

0.238

[-1.24;-0.82]

0.100

0.238

[-0.82;-0.40]

0.140

0.333

[-0.40;0.02]

0.220

0.524

[0.02;0.44]

0.100

0.238

[0.44;0.86]

0.100

0.238

[0.86;1.28]

0.160

0.381

[1.28;1.70]

0.100

0.238

  • Г
    ипотеза - нормальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0256;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0632;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 28.426;


  • Гипотеза - равномерное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 5.040;


  • Гипотеза - экспоненциальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0800;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 97.335;


При числе суммируемых случайных величин = 1 самая подходящая гипотеза - равномерное распределение.

Изменяем число суммируемых случайных величин с 1 на 3;

Минимальное значение xmin= -1.7150;

Максимальное значение xmax= 2.3588;

Оценка математического ожидания : 0.047;

Оценка дисперсии: 0.929;

Оценка среднего квадратического отклонения: 0.964;


Интервал

Частота

Гистограмма

[ -1.69; -1.27]

[ -1.27; -0.85]

[ -0.85; -0.43]

[ -0.43; -0.01]

[ -0.01; 0.41]

[ 0.41; 0.83]

[ 0.83; 1.25]

[ 1.25; 1.67]

0.120

0.090

0.140

0.080

0.200

0.100

0.140

0.140

0.285

0.214

0.333

0.190

0.476

0.238

0.333

0.333


  • Г
    ипотеза - нормальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0314;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0019;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 17.086;


  • Гипотеза - равномерное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 29.680;


  • Гипотеза - экспоненциальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0205;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 56.382;


При числе суммируемых случайных величин = 3 самая подходящая гипотеза - нормальное распределение.


Изменяем число реализаций суммы на n = 100;

Минимальное значение xmin= -1.7150;

Максимальное значение xmax= 2.3588;

Оценка математического ожидания : 0.047;

Оценка дисперсии: 0.929;

Оценка среднего квадратического отклонения: 0.964;


Интервал

Частота

Гистограмма

[ -1.69; -1.27]

[ -1.27; -0.85]

[ -0.85; -0.43]

[ -0.43; -0.01]

[ -0.01; 0.41]

[ 0.41; 0.83]

[ 0.83; 1.25]

[ 1.25; 1.67]

0.120

0.090

0.140

0.080

0.200

0.100

0.140

0.140

0.285

0.214

0.333

0.190

0.476

0.238

0.333

0.333



  • Гипотеза - нормальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0356;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0458;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 40.408;


  • Гипотеза - равномерное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 8.160;


  • Гипотеза - экспоненциальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0682;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 151.354;


При числе суммируемых случайных величин = 1 самая подходящая гипотеза - равномерное распределение.

Изменяем число суммируемых случайных величин с 1 на 3;

Минимальное значение xmin= -2.1186;

Максимальное значение xmax= 2.3703;

Оценка математического ожидания : 0.205;

Оценка дисперсии: 1.044;

Оценка среднего квадратического отклонения: 1.022;


Интервал

Частота

Гистограмма

[ -2.12; -1.56]

[ -1.56; -1.00]

[ -1.00; -0.44]

[ -0.44; 0.13]

[ 0.13; 0.69]

[ 0.69; 1.25]

[ 1.25; 1.81]

[ 1.81; 2.37]

0.040

0.100

0.130

0.200

0.170

0.180

0.150

0.030

0.071

0.178

0.232

0.356

0.303

0.321

0.267

0.053


  • Г
    ипотеза - нормальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0115;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0170;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 18.487;


  • Гипотеза - равномерное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0000;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 22.560;


  • Гипотеза - экспоненциальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000;

Вероятность попадания правее xmax равна 0.0442;

Число степеней свободы равно 9;

Значение статистики критерия Пирсона g = 247.864;


При числе суммируемых случайных величин = 3 самая подходящая гипотеза - нормальное распределение.

Изменяем число реализаций суммы на n = 150;

Минимальное значение xmin= -1.7227;

Максимальное значение xmax= 1.7187;

Оценка математического ожидания : 0.048;

Оценка дисперсии: 0.992;

Оценка среднего квадратического отклонения: 0.996;


Интервал

Частота

Гистограмма

[ -1.72; -1.29]

[ -1.29; -0.86]

[ -0.86; -0.43]

[ -0.43; -0.00]

[ -0.00; 0.43]

[ 0.43; 0.86]

[ 0.86; 1.29]

[ 1.29; 1.72]

0.113

0.133

0.120

0.100

0.107

0.133

0.187

0.107

0.263

0.310

0.279

0.232

0.248

0.310

0.434

0.248



  • Гипотеза - нормальное распределение;

Вероятность попадания левее xmin равна 0.0376;


Случайные файлы

Файл
2983.rtf
30094.rtf
87491.rtf
15674-1.rtf
63922.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.