Курсовые по ТВиМС (Курсач по терверу)

Посмотреть архив целиком







Московский Авиационный Институт

(Государственный Технический Университет)


Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Закон распределения случайной величины и метод наименьших квадратов»

Вариант №8.














Выполнила студентка гр. 04-215

Малкова Екатерина


Проверил: Молчанов И.И.






Москва 2008

Теоретическая справка.

Математическое ожидание

Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число

,

то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. Если случайная величина X принимает значения . Тогда справедливо равенство

,

Пусть X — случайная величина, M(X) — её математическое ожидание, a — некоторое число. Тогда

  1. M(a) = a;

  2. ;

  3. .

Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по a при a = M(X). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .

Дисперсией случайной величины X называется число

.

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

Пусть X — случайная величина, a и b — некоторые числа, Y = aX + b. Тогда

D(Y) = a2D(X).

.

Пусть — попарно независимые случайные величины (то есть Xi и Xj независимы, если ). Пусть Yk — их сумма, , тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых,

.

Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,

.

Хи-квадрат Пирсона.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения.

Распределение Пирсона χ2 (хи-квадрат) — распределение случайной величины

,

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, то есть n, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.






Смоделирована выборка, объемом n=100, состоящая из элементов:


0.473

-0.338

-0.146

-0.116

0.837

-0.277

0.492

0.048

0.703

-0.161

1.195

0.270

-0.158

-0.305

0.104

0.898

0.157

0.328

2.059

-0.316

5.468

1.011

-0.049

0.291

0.121

-0.370

1.483

3.341

1.373

0.259

1.440

0.383

2.034

1.692

1.220

0.190

-0.149

1.219

1.252

-0.029

3.141

1.216

-0.003

0.026

0.533

-0.343

1.582

0.416

1.634

-0.313

0.742

1.055

0.382

1.349

5.178

1.375

1.592

0.760

1.554

0.014

1.207

1.643

0.215

1.750

-0.359

0.114

0.035

0.682

-0.233

0.191

1.123

2.578

0.601

0.081

0.166

-0.212

0.091

-0.190

-0.262

0.529

2.520

-0.294

0.692

0.078

3.370

0.555

-0.358

0.371

0.632

8.138

0.359

-0.245

0.466

0.551

-0.362

-0.133

0.862

0.237

-0.307

0.638


Вариационный ряд выборки:


-0.370

-0.362

-0.359

-0.358

-0.343

-0.338

-0.316

-0.313

-0.307

-0.305

-0.294

-0.277

-0.262

-0.245

-0.233

-0.212

-0.190

-0.161

-0.158

-0.149

-0.146

-0.133

-0.116

-0.049

-0.029

-0.003

0.014

0.026

0.035

0.048

0.078

0.081

0.091

0.104

0.114

0.121

0.157

0.166

0.190

0.191

0.215

0.237

0.259

0.270

0.291

0.328

0.359

0.371

0.382

0.383

0.416

0.466

0.473

0.492

0.529

0.533

0.551

0.555

0.601

0.632

0.638

0.682

0.692

0.703

0.742

0.760

0.837

0.862

0.898

1.011

1.055

1.123

1.195

1.207

1.216

1.219

1.220

1.252

1.349

1.373

1.375

1.440

1.483

1.554

1.582

1.592

1.634

1.643

1.692

1.750

2.034

2.059

2.520

2.578

3.141

3.341

3.370

5.178

5.468

8.138


Общие характеристики набора реализаций:

число реализаций n=100

минимальное значение xmin=-0.3703

максимальное значение хmах =8.1375


Найти закон распределения исследуемой случайной величины, если известно, что он может быть

-нормальным (гауссовским);

-равномерным на некотором интервале;

-экспоненциальным.

Оценка математического ожидания: 0.773

Оценка дисперсии: 1.308

Оценка среднего квадратического отклонения: 1.144



Таблица данных для построения гистограммы (интервал [xmin,xmaxl разбит на 8 подынтервалов)


Интервал

Частота

Гистограмма

[-0.37; 0.69]

0.630

0.592

[0.69; 1.76]

0.270

0.254

[1.76; 2.82]

0.040

0.038

[2.82; 3.88]

0.030

0.028

[3.88; 4.95]

0.000

0.000

[4.95; 6.01]

0.020

0.019

[6.01; 7.07]

0.000

0.000

[7.07; 8.14]

0.010

0.009


Для проверки предлагаются следующие гипотезы; о законе распределения случайной величины:

Гипотеза 1 - нормальное распределение;

Гипотеза 2 - равномерное распределение;

Гипотеза 3 - экспоненциальное распределение;


Из формы гистограммы можно предположить, что данное распределение является экспоненциальным. Проверим третью гипотезу по критерию хи-квадрат Пирсона


Таблица вероятностей попадания в подынтервалы


Интервал

Вероятность

[-0.37; 0.69]

0.605

[0.69; 1.76]

0.239

[1.76; 2.82]

0.094

[2.82; 3.88]

0.037

[3.88; 4.95]

0.015

[4.95; 6.01]

0.006

[6.01; 7.07]

0.002

[7.07; 8.14]

0.001


Вероятность попадания левее xmin равна 0.0000

Вероятность попадания правее хmах равна 0.0006






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.