Учебное пособие (Учебное пособие)

Посмотреть архив целиком

43


минитерство общего и профессионального образования российской федерации

–––––––––

Московский государственный авиационный институт (технический университет)




Ю.В. Кузнецов в.в. голованов






Временной и частотный анализ линейных цепей

Учебное пособие






Утверждено

на заседании редсовета

14 декабря 1998 г.






Москва, 1998




Кузнецов Ю.В., Голованов В.В. Временной и частотный анализ линейных цепей: Учеб. пособие.


Учебное пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей при изучении ими методов анализа линейных радиоэлектронных цепей в рамках дисциплины «Радиотехнические цепи и сигналы». Даны основные теоретические соотношения и методика составления и решения динамических уравнений, описывающих линейную цепь, а также рекомендации по использованию преобразования Лапласа для анализа линейных цепей. На примере анализа конкретной цепи показана методика выполнения расчетно-графической работы. Приведены указания по выполнению лабораторных работ в рамках темы «Частотные и временные характеристики линейных цепей».

1. Постановка задачи


Под анализом радиоэлектронной цепи понимается определение реакции y(t) цепи при заданном воздействии {x1(t), x2(t), …, xМ(t)}, структуре цепи и ее начальном состоянии {1(0), 2(0), N(0)} (рис. 1.1).


Рис. 1.1


Реакция y(t) – это временная функция тока или напряжения на заданном участке цепи, называемом выходом. Воздействиями являются внешние независимые источники тока и (или) напряжения, генерирующие заданные временные функции и подключаемые к определенным точкам цепи, которые называются входами. Структура линейной цепи представляет собой совокупность соединенных между собой линейных элементов цепи, в качестве которых в данной расчетно-графической работе (РГР) используются сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Начальным состоянием цепи является совокупность значений переменных состояния в нулевой момент времени j(0), которыми в данном случае будут токи через индуктивности и напряжения на емкостях цепи.

Решение задачи анализа радиоэлектронной цепи проводится различными методами, которые можно разделить на временные и частотные. Особенностью временных методов является то, что в процессе анализа все воздействия и реакции описываются функциями времени, а линейная цепь задается динамическими уравнениями, которые представляют собой математическую модель взаимодействия токов и напряжений в элементах цепи. Здесь будут рассмотрены методики составления динамических уравнений, связывающих временные функции воздействий и реакции, а также процедуры их решения, т.е. определения реакции в явном виде.

Частотные методы анализа обязательно включают преобразование временных функций в частотную область xi(t) Xi(p), при этом линейная цепь также описывается своим эквивалентом в области частоты, а найденная реакция требует обратного преобразования в функцию времени y(t) Y(p). В качестве частотного преобразования в данной РГР используется одностороннее преобразование Лапласа (ОПЛ), а линейная цепь характеризуется системными функциями Hi(p), связывающими ОПЛ реакции Y(p) с ОПЛ воздействий Хi(p) и начальных состояний линейной цепи j(0)/p.


2. Составление динамических уравнений методом
узловых напряжений


Пусть задана цепь второго порядка, изображенная на рис. 2.1.


Рис. 2.1


Воздействиями являются источник напряжения e(t) и источник тока i(t), а искомой реакцией – ток через индуктивность iL(t). Задано также начальное состояние: напряжение на емкости VC0 и ток через индуктивность
iL(0) = IL0 в нулевой момент времени. Требуется составить дифференциальное уравнение (ДУ) «вход – выход» методом узловых напряжений.

  1. Определим опорный узел. В принципе можно выбрать любой из четырех узлов схемы в качестве опорного, но для упрощения задачи анализа лучше взять узел, в котором сходится наибольшее число ветвей и (или) источников напряжения. В данном примере это узел «0».

  2. Выбираем узловые напряжения. Из трех оставшихся узлов только два могут быть выбраны для обозначения узловых напряжений. Это узлы «2» и «3», напряжения на которых относительно опорного узла обозначены VC(t) и VL(t) соответственно. Напряжение узла «1» не обозначается в качестве узлового напряжения, поскольку оно известно и равно e(t).

  3. Записываем узловые уравнения, представляющие собой сумму токов, вытекающих из узлов, выбранных в п. 2, причем токи необходимо выразить через введенные узловые напряжения и внешние источники. Для узла «2» уравнение имеет вид:


. (2.1)


Для узла «3» узловое уравнение запишется в виде:


. (2.2)


  1. Для получения ДУ «вход – выход» можно воспользоваться таким приемом: провести преобразование Лапласа над узловыми уравнениями, проделать алгебраические преобразования, а затем сделать обратное преобразование Лапласа, вернувшись во временную область к исходному ДУ «вход – выход». Но сначала нужно выразить искомую реакцию (выход) через узловые напряжения. В нашем примере


. (2.3)


Поскольку преобразование Лапласа используется в данном случае с целью получения ДУ, начальные условия можно принять равными нулю.

В результате преобразования Лапласа получим систему алгебраических уравнений


(2.4)


Здесь использована теорема о преобразовании Лапласа производной и интеграла функции времени при нулевых начальных условиях:


(2.5)


Решая систему с помощью правила Крамера, получим


(2.6)


Подставив полученные выражения в соотношение для преобразования Лапласа искомой реакции, после алгебраических преобразований получим


(2.7)


Умножив IL(p) на знаменатель этой функции и проведя обратное преобразование Лапласа, получим искомое ДУ «вход – выход»:


(2.8)


3. Составление динамических уравнений методом
переменных состояния


Составим ДУ «вход – выход» для цепи, приведенной на рис. 2.1, методом переменных состояния.

  1. Вместо емкости вводим источник напряжения VC(t), а индуктивность заменяем источником тока iL(t). Эквивалентность такой замены базируется на известной теореме замещения. В результате получим эквивалентную схему (рис. 3.1).


Рис. 3.1


  1. Любым известным методом находим ток iС(t) через введенный источник напряжения VC(t) и напряжение VL(t) на введенном в п. 1 источнике тока iL(t). Направления указанных токов и напряжений необходимо обозначить на схеме (рис. 3.1).

Например, VL(t) можно найти, записав закон Кирхгофа для токов, вытекающих из узла «2». При этом учтем, что напряжение узла «1» относительно опорного узла «0» равно напряжению источника VС(t):


. (3.1)


Теперь искомый ток iС(t) можно определить как сумму токов, втекающих в узел «1» через R1 и R2:


(3.2)


В результате получим систему уравнений, которую принято записывать в упорядоченном виде:


(3.3)


  1. Учитывая связь между током и напряжением в емкости и индуктивности, заменяем в левой части системы уравнений и . Разделив первое уравнение системы на L, а второе на С, окончательно получим систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и внешних воздействий в форме Коши:


(3.4)


  1. Дальнейшее решение системы ДУ возможно в матричной форме. В нашем случае, когда требуется составить ДУ «вход – выход» относительно iL(t) можно воспользоваться методом преобразования Лапласа, рассмотренном в рамках метода узловых напряжений. В результате получим систему алгебраических уравнений:

(3.5)


Решая систему относительно IL(p) по правилу Крамера, получим

(3.6)


После алгебраических преобразований в числителе и знаменателе получим

(3.7)


что в точности совпадает с аналогичным выражением (2.7), полученным методом узловых напряжений. Дальнейший переход к ДУ «вход – выход» проводится с помощью обратного преобразования Лапласа и дает идентичное ДУ второго порядка (2.8).


4. решение дифференциального уравнения
«вход – выход»


ДУ «вход – выход» в неявном виде определяет связь между искомой реакцией и внешними воздействиями. Нахождение решения ДУ заключается в получении явного выражения реакции как функции времени. Для определения реакции необходимо задать внешние воздействия в виде функций времени, имеющих начало. Не для всякой функции времени можно найти решение в явном виде, но если воздействие является, например, односторонней экспонентой с началом в нулевой момент времени или суммой таких экспонент, то решение найти можно. В качестве показателей этих экспонент можно использовать любые действительные и комплексные числа. Кроме того, для нахождения решения нужно знать начальное состояние цепи, например, независимые начальные условия, т.е. значения переменных состояния цепи в нулевой момент времени.

Для конкретности вернемся к цепи, изображенной на рис. 2.1, и приступим к решению ДУ «вход – выход».


4.1. Свободное решение ДУ «вход – выход»


Определение свободного решения i(t) проводится для однородного ДУ, которое получается из ДУ «вход – выход» путем обнуления внешних воздействий: e(t) = 0 и i(t) = 0. В результате получим


(4.1)


где

Решение однородного ДУ начинается с составления характеристического уравнения, получаемого из дифференциального заменой

(4.2)


Решениями составленного характеристического уравнения являются собственные частоты линейной цепи:

. (4.3)


В зависимости от соотношения между 0 и 0 получается пара собственных частот (СЧ), характерная для той или иной радиоэлектронной цепи.

а) 0 0, собственные частоты являются действительными и отрицательными числами р1 и р2. Они изображаются крестиками на действительной оси комплексной р-плоскости (рис. 4.1 а). В случае равенства 0 = 0 собственные частоты вырождаются в одну кратную СЧ р = – 0 (рис. 4.1 б).


а) б)

Рис. 4.1


Цепи с такими СЧ принято называть апериодическими, поскольку свободное решение в этом случае представляет собой сумму двух затухающих экспонент (см. рис. 4.2)

, (4.4)


где А и В – амплитуды экспонент, определяемые в процессе дальнейшего решения ДУ «вход – выход». В случае кратных СЧ свободное решение имеет вид (см. рис. 4.3)


(4.5)


и также является апериодическим.


Рис. 4.2 Рис. 4.3

б) 0 < 0, тогда СЧ образуют комплексно-сопряженную пару


. (4.6)


Диаграмма СЧ представлена на рис. 4.4.


Рис. 4.4


Соотношение между 0 и 0 количественно характеризуется добротностью пары полюсов , а цепи с такими СЧ принято называть колебательными. Собственная реакция в данном случае является суммой двух комплексно-сопряженных затухающих экспонент:


, (4.7)


где А и А* – комплексно-сопряженные амплитуды экспонент, причем