Философские вопросы математики (29759-1)

Посмотреть архив целиком

Философские вопросы математики


Введение

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно "свободного" творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру "идей", имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).

Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей" и являются лишь слабыми "тенями" последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами "свободного" мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов". [15; 8]

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например, Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Чебышев.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что еще осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердил прогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видах геометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах, гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретической электротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельных вопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий. Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики; после этого был раскрыт их физический смысл.


1. Математика и действительность как основной философский вопрос математики.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Н.Бурбаки пишет, что "основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге "Развитие познания и математика" отмечают, что "сам автор отказывается всерьез обсуждать эту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти "нейтральность" при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что он выступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их "из-за отсутствия компетентности" [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математики далеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман: "Многие философские проблемы, в отличие от проблем, возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что они всегда сохраняют свое значение для человечества" [17; 217].

Получая свое определенное решение в каждую историческую эпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме, обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальных преобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, не подлежащим дальнейшему изменению, развитию.

В настоящее время основной вопрос философии по отношению к математике сместился в план соотношения действительности и языка. "Считать ли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или же утверждать, что она имеет дело лишь с формальными преобразованиями символов, не отрицающих никаких реальных связей и отношений? – так ставится вопрос" [17; 227].

Проблему соотношения математики и действительности пытались решить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести все теоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точку зрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи были выражены в работах английского философа Дж.Ст.Милля.

Представление, согласно которому математики рассуждают не о реальных предметах, а о символах, есть, согласно Дж.Ст.Миллю "…иллюзия, возникшая вследствие того, что когда математик пользуется своими знаками, не действительно не думает о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но это происходит потому, что истины арифметики справедливы относительно всех вещей и не возбуждают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частности. Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах, а о всех вещах, которые этот символ обозначает" [14; 561].

Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3 является наш опыт, под которым Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельного изолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж.Ст.Миллю, резюмирует эмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своем непосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенном порядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи. Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и с тех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведет это обобщение дальше: всякий алгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии: "Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путем обобщения наблюдений и опытов" [14; 583].

Миллевская концепция математического знания показывает, как недостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельное значение математики. Применение его идей к математике возможно лишь с грубыми натяжками, искажающими ее сущность.

Пытаясь рассмотреть математическое знание как продукт чувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимыми трудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, а математические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такими понятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступно чувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельного субъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но не порождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, а математические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможно построить грандиозное здание математики на таком шатком основании, как единичный чувственный образ в сознании индивида.

Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит о характере математического знания: “...математическое знание не выводится из опыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание о мире. “3” обозначает “2+1”, а “4” означает “3+1”. Отсюда следует, что “4” означает то же, что “2+2”. Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и “великая истина”, что в ярде 3 фута” [19; 839].

Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка, как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в области логики и математики: “Так же, как философы обособили мышление в самостоятельную силу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особое царство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов, обладают своим собственным содержанием” [11; 448].


Случайные файлы

Файл
100043.rtf
17835.rtf
131772.rtf
49183.rtf
133225.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.