Лекции по ТФКП (Лекции по ТФКП)

Посмотреть архив целиком









ЛЕКЦИИ


по


Теории Функций Комплексного Переменного









Автор: Каменский А.Г.

Набор: Шатов А.Н.

e-mail: nclog@bk.ru




2003г.


Лекция №1

Комплексные числа


Опр. x+iy – комплексное число, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица.

;

Опр. Комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел: z=(a,b).


Пусть =(a,b); =(c, d);

+=(a+c, b+d);

g= (ga, gb), где g – действительное число;

=(ac-bd, ad+bc);

(0,1)=i;

(0,1)(0,1)=(-1,0);

z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+iy;

;


y


(x,y)

x



|z| = = r;

arg z= = arctg - аргумент комплексного числа;

Arg z = + 2 - главный аргумент;

z = r(cos + i*sin)= r;

= cos + i*sin - формула Эллера.

=+i=(cos+i*sin);

=+i=(cos+i*sin);

=(cos(+)+i*sin(+));

=(cos n+sin n);

(cos + i*sin), k=0,1,…,n-1;

= x-iy

z=|z=;

Топология комплексной плоскости


Опр. - расстояние между числами .

Опр. -окрестностью z называется множество всех таких точек :

Опр. = w

Опр. Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Опр. Множество называется открытым, если каждая его точка принадлежит ему с некоторой ее окрестностью.

Опр. Множество называется связанным, если всякие его две точки можно соединить ломанной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащих этому множеству.

Опр. Открытое связанное множество называется областью.

Опр. Множество называется односвязанным, если оно ограничено одной несамопересекающейся замкнутой кривой и оно связанное.

Опр. Множество называется двусвязанным, если оно ограничено двумя несамопересекающейся замкнутыми кривыми и оно связанное.


Функции комплексного переменного


Опр. Если даны множества М и G на комплексной плоскости и каждому z из M соответствует w из G, то говорят, что функция