методичка к 1 лабораторной (методичка к 1 лабораторной)

Посмотреть архив целиком

6



МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(Технический университет)










МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ





по курсу «Физико-химические основы микроэлектроники,

технологии, конструирования»
















Москва, 2007 г.









I. Цель выполнения практических работ.


Цель работ - овладевание методами автоматизированного моделирования технологических процессов, физических свойств материалов с использование пакета математических программ MathCad.


II. Задания.

Моделирование процесса диффузии.


2 - ой закон диффузии определяет процессы накопления диффундирующей примеси в разных точках вещества с течением времени.

N / t = D ( 2N / x2 ).

В технологических процессах оперируют параметрами: концентрация примеси у поверхности No, максимально растворимая концентрация Nmax (NO), температура Т, время операции t. Для формирования процесса используется:

- одноступенчатая диффузия из источника постоянной концентрации,

- двухступенчатая диффузия из источника с заданным числом атомов А.

Концентрация примеси в точке кристалла с координатой “х” при одноступенчатой диффузии зависит от времени диффузии:

N ( x,t ) = No erfc ( x / ( 2 Dt )),

где erfc ( ) - дополнительная функция ошибок (табулированная).

При очень большой продолжительности диффузии (она идет при температуре выше Ттам ) поверхностный слой кристалла может оказаться равномерно легированным примесью. Ограничение времени диффузии t приводит к созданию на поверхности кристалла большей концентрации примеси, чем в глубине – большой неравномерности. Это 1-ый сценарий.Пределом является величина максимальной растворимости этой примеси в веществе кристалла при конкретной температуре. Такой профиль легирования используется, например, для создания эммиттерных областей транзисторов.

2-ой сценарий: диффузия из источника с заданным числом атомов А производится в 2 приема. 1) Сначала осаждают на поверхность кристалла примесь числом А. Распределение примеси неравномерно от поверхности вглубь вещества. 2) Затем источник диффузанта удаляют. 3) Выдерживают при температуре Т диффузии в течение времени t. При этом примесь диффундирует из поверхностного слоя вглубь.

Концентрация примеси в сечении “х” кристалла аппроксимируется распределением Гаусса:

N ( x,t ) = ( A /  D t ) exp ( - x2 / ( 4 D t )).

Процесс предопределяет меньшую концентрацию примеси, но более равномерную в приповерхностном слое кристалла.


Задание: Сформировать динамическую модели процессов одно- и двухступенчатой диффузии с помощью опции анимирования программы MathCad. Сравнить сценарии продвижения диффузанта от поверхности вглубь кристалла.

Эффект анимации реализуется с помощью кадра (FRAME) как переменной. Расчет и построение графика производятся для каждого кадра. Кадры меняются с определенной скоростью. В результате и получается анимация графика.

Сначала определите константы и переменные. Затем запишите функцию со встроенной переменной FRAME. Создать график: Вставка \ График \ Х-У участок. В горизонтальном маркере поместите переменную, на вертикальном – функцию. Щелкнув на графике дважды, удалите для оси У (Y- Axis) опции Autoscale и Auto Grid. В противном случае в каждом кадре будет автоматически меняться масштаб. В нижнем маркере поместите 0, а в верхнем 1.2 х 104 для 1-ого и 20 – для 2-ого сценариев.

Вызовите из меню Просмотр окно Анимирование (Animate). Это окно не должно закрывать графика. Сдвиньте окно мышью. Выделите график (пунктирным прямоугольником). В окне Анимирования появится изображение графика. Измените скорость смены кадров с 10 до 1 (Frame/Sec). Нажмите клавишу «Анимация» (Animate). На экране появиться Проигрыватель (Playback), который может воспроизвести запись динамической модели процесса. Анимацию можно сохранить с расширением “.avi”.

Для тренинга сформируйте анимацию синусоиды переменной частоты:

F(x) = sin (FRAME ∙π∙x / 10).


Данные для одноступенчатой диффузии (1-ый сценарий):


Данные для двухступенчатой диффузии (2-ой сценарий):





Ф-2. Исследование структуры твердых тел методом рентгеноструктурного анализа


Рост номенклатуры изделий электронной техники на основе широкого применения и внедрения микроэлектроники ставит перед разработчиками сложные проблемы по оптимизации конструкций функциональных ячеек , блоков и определению рациональных вариантов технологии микросхем и микросборок.

Рентгеновский анализ является пассивным методом неразрушающего контроля качества пленочных и физических структур элементов микросхем.

С помощью рентгеноструктурного анализа можно определить тип кристаллической структуры, межплоскостные расстояния, внутренние микронапряжения, величину зерна пленок, фазовой состав и текстуры.

Структура твердых тел определяет электрофизические свойства элементов микросхем и функциональные параметры устройств на их основе. Изменение структуры элементов в процессе производства и эксплуатации микросхем свидетельствует о протекании сложных физико-химических процессов, которые могут приводить как к деградации параметров, так и к их стабилизации. Процессы рекристаллизации, окисления, электро- и термодиффузии могут служить как причиной параметрических отказов и снижения надежности, так и средством стабилизации параметров в процессе производства микросхем и повышения их надежности.

Таким образом, зная зависимость изменения структуры твердых тел от технологических факторов и закономерности процессов, протекающих при этом, можно управлять свойствами структур и прогнозировать надежность на ранних этапах проектирования технологических процессов и изделий электронной техники.

Структура твердых тел тесно связана с электронно-ионными процессами в приборах и электронных устройствах микроэлектроники. Так, ширина запрещенной зоны зависит от типа связи в кристалле, ориентации кристаллографических осей и т.д. Магнитные, оптические, механические и электронные свойства также являются функцией структуры исходных материалов.

Создание приборов и технологических процессов микроэлектроники с высокими показателями качества немыслимы без анализа структуры и ее влияния на электрофизические свойства и параметры изделий.


При некотором сближении атомов между ними возникают силы взаимодействия. Общий характер сил взаимодействия независимо от их природы остается одинаковым: на достаточно больших расстояниях - возникают силы притяжения (Fпр), которые сравнительно быстро увеличиваются с уменьшением расстояния между атомами, на достаточно малых расстояниях - появляются силы отталкивания (Fот), которые с уменьшением расстояния между атомами увеличиваются значительно быстрее, чем силы притяжения. На некотором расстоянии r = ro силы отталкивания уравновешивают силы притяжения, и результирующая сила (F рез)

обращается в 0, а энергия взаимодействия атомов достигает максимального значения.

Состояние атомов, которые сблизились и находятся на расстоянии ro, является состоянием устойчивого равновесия. Такое состояние является причиной упорядочивания взаимного расположения атомов, которые выстраиваются в четком порядке на расстоянии ro друг от друга. При этом образуется тело с правильной внутренней структурой - кристалл. Такая структура сохраняется до тех пор, пока энергия связи остается выше энергии теплового движения атомов (рис.1.1).

Для описания правильной внутренней структуры удобно пользоваться понятием кристаллической решетки, в которой ro - постоянная решетки. Кристаллическая решетка - это сетка, с узлами которой связаны атомы, образующие кристалл. Идеальный кристалл - это твердое тело, атомы которого расположены с периодической повторяемостью в трех измерениях. Кристалл может быть представлен многократным повторением элементарной ячейки.

Элементарная ячейка задается тройкой базовых векторов a, b, c. Положение любого узла кристаллической решетки определяется вектором Т=n1 a + n2 b + n3 c, где n1, n2, n3 - целые числа (рис.1.2).

E


r0 r b

d sin


Рис.Ф-2.1. Рис.Ф-2.2. Рис.Ф-2.3. Рис.-1.4.


Положение и ориентация плоскости кристаллов определяется заданием трех атомов, лежащих в одной плоскости. Если каждый из трех атомов находится на одной из кристаллографичеких координатных осей, то положение данной плоскости может быть описано соответствующими координатами атомов в единицах постоянных решетки (рис.1.3).

Наиболее удобным способом описания плоскостей в решетке является описание с помощью индексов Миллера (h, k, l) , которые являются наименьшими целыми числами обратных отношений следа плоскости.


Экспериментальные дифракционные методы изучения кристаллических структур.


Изучение структуры твердых тел можно проводить несколькими методами: электронной микроскопией, рентгеноструктурным анализом и облучением нейтронами. Все указанные методы основаны на дифракции электронов, фотонов и нейтронов. Угол, на который отклоняется дифрагированная волна, зависит , главным образом, от структуры вещества и длины волны падающего излучения. Электронная микроскопия с разрешающей способностью 2А0 позволяет изучить выступающие плоскости слоистых кристаллов и микрорельеф поверхностей, однако прямое определение кристаллических структур сопряжено с трудностями, которые в настоящее время обусловлены техникой эксперимента. Электронная микроскопия связана большей частью с взаимодействием потоков излучения с плоскостями и гораздо реже с атомами .

Исследование структуры кристаллов на атомном уровне, как правило, производят на основе дифракции волн, длины которых сравнимы с межатомным расстоянием в кристаллах 10 -8 см. Излучение с большей длиной волны не может выявить деталей структуры на уровне атомов, а более коротковолновое излучение дифрагирует только при очень малых углах, что составляет определенные трудности для проведения достоверного эксперимента.

Для исследования кристаллов необходимо использовать рентгеновское излучение с энергией квантов от 10 до 50 эВ. Такое излучение можно получить как за счет торможения быстрых электронов в металлических мишенях (тормозное излучение), так и за счет неупругого взаимодействия их с внутренними электронами атомов мишени (характеристическое излучение). Тормозное излучение имеет широкий непрерывный спектр, характеристическое - линейный спектр с узкими линиями.

Когда на атом падает волна, она может частично или полностью рассеяться электронами этого атома. Частота излучения в этом случае не изменяется. Для оптического диапазона волн ( 0 суперпозиция упруго рассеянных отдельными атомами кристаллов волн приводит к обычному оптическому преломлению.

Если длина волны падающего излучения сравнима с постоянной решетки или меньше ее, то можно получить один или более дифрагированных пучков, направления которых сильно отличаются от направления падающего пучка.

Длина волны и энергия Е кванта рентгеновского излучения связаны соотношением:

 (0) = .

Энергия и длина волны де-Бройля для нейтрона зависят от массы и импульса и в более простых единицах связаны соотношением

 (0)

.

Нейтроны характеризуются наличием магнитного момента, поэтому взаимодействуют с “магнитными” электронами твердого тела. Наибольшую ценность дифракция нейтронов представляет для структурного анализа магнитных кристаллов. В немагнитных материалах нейтроны взаимодействуют с ядрами атомов, которые образуют решетку.

Длина волны де-Бройля для электрона и его энергия связаны уравнением:

= ,

где m = 0.911 10-27 г- масса электрона. Тогда в более удобных для инженерной практики единицах получим соотношение: (0) .

Электроны сильно взаимодействуют с твердыми телами, поскольку являются заряженными частицами. Однако глубина их проникновения в кристалл сравнительно невелика. Поэтому метод дифракции электронов при структурном исследовании используется обычно для изучения поверхностей твердых тел, пленочных структур, очень тонких кристаллов и газов.

Рассмотрим семейство параллельных, равностоящих друг от друга атомных плоскостей в кристалле, межплоскостное расстояние которых равно d . Пусть падающий пучок лежит в плоскости чертежа (рис.1.4). Для лучей, отраженных от соседних плоскостей, разность хода равна 2 d sin , где - угол, отсчитываемый от атомной плоскости.

Излучение, отраженное от соседних плоскостей, будет при интерференции усиливаться в том случае, когда разность хода равна целому числу n длин волн . Условие интерференционного максимума при отражении представляется в виде соотношения, которое называют законом Вульфа - Брэгга:

2 d sin = n .

По закону Вульфа - Брэгга для отражения необходима определенная связь между и , так как в общем случае рентгеновские лучи с длиной волны , падающие на трехмерный кристалл под произвольным углом, отражаться не будут.

Закон Вульфа - Брэгга является следствием периодичности пространственной решетки. Он не связан с расположением атомов в ячейке или с базисом в каждом узле решетки. Расположение атомов в базисе определяет лишь относительную интенсивность дифрагированных пучков в различных порядках для данного семейства параллельных плоскостей.

Брэгговское отражение имеет место лишь при длинах волн 2 d. Вот почему для этих целей не может быть использован видимый свет. Чтобы выполнить условия закона Вульфа - Брэгга, необходимо подбирать или длину волны или углы падения . В настоящее время в технике физического эксперимента для исследования структуры твердых тел применяют три основных метода: метод Лауэ, метод вращения кристалла и метод порошка. Методы могут быть реализованы различными способами.

Сущность метода Лауэ заключается в том, что узкий немонохроматический пучок рентгеновских лучей (или нейтронов) направляется на неподвижно закрепленный монокристаллический образец, где в соответствии с законом Вульфа - Брэгга дифрагирует только излучение с дискретным набором длин волн, для которых межплоскостные расстояния d и углы падения удовлетворяют соотношению:

= arc sin ( n / 2 d ).

Метод Лауэ прост и удобен для быстрого определения симметрии кристалла и его ориентации. Данный метод используется также для определения искажений и дефектов, возникающих в кристалле при термической и механической обработке. Лауэграммы (рис. 1.5) широко используются для ориентации кристаллов при экспериментальном изучении различных твердых тел, а также в производстве интегральных полупроводниковых микросхем.





Рис. - 1.5. Лауэграмма кристалла берилла.





Метод Лауэ практически никогда не применяется для определения кристаллической структуры, поскольку одна плоскость может давать несколько отражений. Из-за широкого спектра отдельные пятна на лауэграмме могут оказаться результатом наложения отражений различных порядков. Это затрудняет определение интенсивности данного отражения, что, с другой стороны, затрудняет определение базиса.

Метод вращения кристалла позволяет проводить анализ структуры с использованием монохроматических пучков рентгеновских лучей (или нейтронов). При вращении кристалла вокруг фиксированной оси различные атомные плоскости занимают положения, соответствующие углам , при которых происходит отражение данного монохроматического излучения в соответствии с условием Вульфа – Брэгга. На практике применяют несколько разновидностей (способов) метода вращения кристалла. Так, способ колебаний предусматривает колебание кристалла в некотором ограниченном интервале углов вместо вращения вокруг оси. Это снижает вероятность наложения отражений различных порядков. Для регистрации картины структурного анализа используются пленки, дифрактометры и методы автоматической регистрации и расшифровки результатов.

Широкое применение имеет метод порошка, который реализуется с помощью монохроматических пучков излучения и не требует вращения образца, поскольку ориентация различных плоскостей у кристаллов (частиц порошка) будет неодинаковой.

Для всех кристаллов существуют таблицы данных о межплоскостных расстояниях .


Методика определения фазового состава пленки.

Чтобы определить фазовый состав пленки, т.е. определить набор межплоскостных расстояний d/n = / 2 sin, надо выполнить следующие операции:

1. Рассчитать теоретические рентгенограммы, т.е. по известным из таблиц расстояниям d/n определить углы теор для предполагаемого состава исследуемого образца.

2. Определить положение всех интерференционных максимумов на рентгенограмме, построив гистограммы относительной интенсивности J%. Для каждого значения теор .

3. Сравнить эксп с теор и сделать вывод о структуре образца, пользуясь данными рис.4.3.

Состав отчета.

  1. Введение: цель работы.

2. Таблица результатов расчета теор.


J, %

d/n

sin

теор.

.

.

.

.


3. Гистограмма значений J% для рассчитанных теор.

4. Вывод о типе кристаллической решетки исследуемого вещества.

Контрольные вопросы.


  1. Что можно изучать с помощью электронной микроскопии?

  2. Каково должно быть соотношение длины волны излучения и исследуемых параметров кристаллов?

  3. Методы получения рентгеновского излучения?

  4. Каков спектр тормозного излучения?

  5. Каков спектр характеристического излучения?

  6. Для каких целей используется метод Лауэ?

  7. Разновидности метода вращения, их достоинства?

  8. Чем объясняется множественность полос на рентгенограмме?

  9. Когда используются нейтроны?

  10. Как определить степень кристалличности полимеров по рентгенограмме?


Задания.

Вариант 1. = 0.7135 А


Интенсивность, J, %

d/n

...

...

100

3.139



60

1.92



35

1.638



8

1.36



13

1.246



17

1.108



9

1.045



5

0.96



11

0.918



9

0.85



5

0.828




Вариант 2. = 0.709 Ао


Интенсивность, J, %

d/n

...

...

40

2.556



40

2.341



100

2.241



40

1.728



40

1.477



50

1.336



40

1.249



30

1.233



10

1.176



10

1.125



20

1.065



30

0.989



30

0.942



30

0.917



10

0.88




Вариант 3. = 0.701 Ао


Интенсивность, J, %

d/n

...

...

100

2.03



50

1.76



32

1.244



32

1.061



4

1.017



8

0.808



8

0.719



8

0.678




Вариант 4. = 0.709 Ао


Интенсивность, J, %

d/n

...

...

100

2.35



53

2.03



33

1.439



40

1.227



9

1.173



3

1.1019



9

0.935



7

0.91



4

0.832



4

0.784




Вариант 5. = 0.7153 Ао


Интенсивность, J, %

d/n

...

...

100

2.027



19

1.433



30

1.17



9

1.013



12

0.906



6

0.827




Вариант 6. = 1.544 Ао


Интенсивность, J , %

d/n

...

...

100

3.266



57

2.00



39

1.706



7

1.414



10

1.298



17

1.155



7

1.09



3

1.00



11

0.956



6

0.895



4

0.863



2

0.817



8

0.792





Ф-3. Термоэлектродвижущая сила.


В 1823 г. Т. Зеебек установил, что в цепи, состоящей из 2-х разнородных проводников (1) и (2), возникает электродвижущая сила Vт , если контакты А и В этих проводников поддерживаются при различных температурах: горячей Тг и холодной Тх .

ТермоЭДС пропорциональна разности температур: Vт = a ( Tг - Tх ) ,

где а - коэффициент пропорциональности: а = dVт / dT

называют дифференциальной или удельной термоЭДС.

Для возникновения термоЭДС имеется 2 основных источника:

- изменение контактной разности потенциалов с температурой - контактная составляющая Vк ,

- образования направленного потока носителей заряда в проводнике при наличие градиента температуры - объемная составляющая Vоб .


А 1 В

+ +

- 2 -



Контактная составляющая термоЭДС. При одинаковой температуре в каждом из контактов уровни Ферми устанавливаются на одной высоте. Возникает контактная разность потенциалов, но разности потенциалов между контактами А и В нет.

Если контакт А нагреть до температуры Тг , то изменится положение уровня Ферми на 1 у (1) и на 2 у (2) проводников, а также работа выхода:

= 1 - 1 , = 2 - 2 .

Если 1 2 , то уровни Ферми оказываются не на одной высоте. После установления термодинамического равновесия контактная разность потенциалов будет:

Vк + Vк = 1/q ( - г1) = 1/q (2 - 1) - 1/q ( 2 - 1 ),

Vк = - 1/q ( 2 - 1 ).

Таким образом, повышение температуры одного из контактов вызывает разность потенциалов Vк . Чем больше изменяется уровень Ферми при увеличении температуры, тем большую контактную термоЭДС можно получить. У металлов и сильнолегированных полупроводников уровень Ферми меняется незначительно, у собственных и слаболегированных полупроводников - существенно.

Контактная составляющая удельной термо -ЭДС: а = 1/q d / dT.

Объемная составляющая термоЭДС. При нагревании одного из контактов возрастает концентрация носителей заряда. От горячего к холодному концу устанавливается диффузионный поток: j = - D dN / dx.

На холодном конце появляется избыточный заряд (отрицательный в случае электронной и положительный - в случае дырочной проводимости). На горячем конце - заряд противоположного знака. Так появляется объемная составляющая термоЭДС - Vоб . ТермоЭдс вызывает дрейфовый поток в обратном направлении:

j = N Vдр = N u E.

В стационарном состоянии: N u T + D dN / dx = 0.

Разность диффузионного и дрейфового потоков поддерживается внешним источником энергии, в данном случае тепловой.

Объемная составляющая удельной термоЭДС: а = dVоб / dT.

мала для металлов и легированных полупроводников в области истощения примеси и значительна для невырожденных полупроводников вследствие их существенной зависимости от температуры.

Преобразование тепловой энергии в электрическую по эффекту Зеебека характеризуется к.п.д.: k = a2 / K ,

где а - удельная термоЭДС, К - коэффициент теплопроводности полупроводника. Условия повышения k: больше и меньше К, - противоречивы, поэтому подбор степени легирования сложен.

Эффект Зеебека используется для создания автономных бортовых электрогенераторов. Источником тепла в них может быть радиоактивный распад химических элементов, например, церия-144, или тепло атомного реактора.

Термоэлектрический эффект используется как для непосредственного измерения температуры, так и измерений, которые могут быть сведены к измерению температуры:

- В тепловых фотоприемниках свет поглощается зачерненной приемной площадкой, к которой подсоединен спай термопары. По величине термоЭДС определяют мощность светового потока.

- В тепловых амперметрах ток пропускается через спай термопары. По величине термоЭДС определяется сила тока.

- В вакуумметрах через металлический проводник с термопарой пропускают фиксированный ток. Температура спая меняется в зависимости от теплопроводности окружающего газа, которая зависит от давления газа (в диапазоне 10-1 - 10 Па ).


Задание.


1) Подготовить данные для автоматизированного измерения температуры от -200 до 0 ˚С – линеаризовать температурную зависимость термопары.

График зависимости термоЭДС (emf, mV) от температуры (Temperature) для термопары медь - копель представлен на рис.1. Состав сплава копель МНМЦ 43-0,5: Cu - 54%, Ni - 43..44%, Fe - 2…3%.

Зависимость описывается полиномом третьей степени:

Для линеаризации необходимо синтезировать полином первой степени типа:

,

где а0 и а1 – коэффициенты регрессии – можно определить с помощью встроенных функций intercept(t,e(t)) и scope(t,e(t)) соответственно.

  1. Оценить погрешность

  1. Построить графики функций e(t), E(t), ΔE(t).







III. Формирование задания для расчетов с помощью программы MathCad.


Задание вводится в виде функции (в левой части выражения), зависящей от аргументов (в правой части выражения). Функции и аргументы представляются с помощью идентификаторов.

Математическое выражение вводится без пробелов в месте расположения визира - красного креста (в отличие от пульсирующей черты текстового редактора).

Сначала задаются (определяются) аргументы. Записи аргументов должны располагаться выше записи функции. Просмотр и решение задания осуществляется слева направо и сверху вниз.

Язык - английский: EN.

Идентификаторы – латинские или греческие буквы, прописные или строчные, цифры. Для ввода греческих букв и математических операторов удобно пользоваться соответствующими панелями инструментов. Идентификаторами могут быть сочетания букв и цифр: LAN, F2, a7, sin, θ4. На протяжении всей записи идентификаторы должны точно воспроизводиться. Возможно переименование идентификатора в пределах одной задачи. Например, для того, чтобы использовать функцию σ(i) в качестве аргумента в дальнейших вычислениях, необходимо уточнить: σ(i):=σi .


Курсоры.


Используется следующие визуальные компоненты:

- красный крест показывает место ввода новых блоков (текстовых, формульных или графических),

- метка (черный квадратик, placeholder) показывает места, куда должны помещаться идентификаторы, появляется при вызове шаблона,

- синий уголок показывает, какую область математического выражения можно редактировать, перемещение курсора осуществляется стрелками,

- пунктирный черный контур служит для выделения области для проведения последующих операций копирования, уничтожения, перемещения и т.п.,

- красная вертикальная черта указывает точку ввода в текстовом блоке.

Неправильная запись выделяется красным. Ошибки выводятся на экран. Подробности – в справке F1.

Аргументы.


Аргументы могут быть постоянными (константами) или переменными. В записях знак равенства заменяется символом присвоения « := ». Определение аргумента – константы: b:= 2.1.


Переменные аргументы могут вводиться в различной форме в зависимости от предназначения.

Форма ввода переменной

Пример изображения

Форма вывода

Диапазон дискретных значений переменной

x:= 1..7

График

Подстрочные индексы

i:= 0..3

Позиция переменной в таблице или матрице

Диапазон дискретных значений переменной с шагом

x:= 1,2..7

Последовательность результатов

Таблица


Таблица результатов (вывода)

Матрица


Матрица результатов

FRAME


Анимация


При формировании диапазона значений дискретной переменной после знака присвоения вводится нижняя граница диапазона значений, затем на панели инструментов «Калькулятор» выбирается «m..n», а в конце – верхняя граница диапазона. Обычно данная форма представления используется для построения графиков. Горизонтальная шкала графика формируется автоматически.

При вводе диапазона значений дискретной переменной с шагом после знака присвоения вводится нижняя граница диапазона значений, затем после запятой следующее значение. Разность этих двух чисел составляет шаг перебора. На панели инструментов «Калькулятор» выбирается «m..n», а в конце – верхняя граница диапазона. Результаты расчетов в этом случае представляются в виде последовательности разделенных запятой чисел. Данное представление позволяет построить графики для каждой из переменных.

Количество подстрочных индексов соответствует представлению массива переменных: одно- или двумерному. Массив переменных вводится в виде таблицы или матрицы. С помощью подстрочных индексов выделяется элемент массива: «xi,j».

Обычно подстрочные индексы исчисляются, начиная с 0-ого (например, i:=0..3, j :=0..3, т.е. 4 x 4 = 16 элементов массива). Построчные индексы располагаются до таблицы и определяются как дискретная переменная в диапазоне значений.

Таблица ввода переменной с подстрочным индексом формируется после ввода первого числа и запятой «,» (например, ci:== 7.2,) . Результаты вычисления представляются в виде таблицы автоматически.

Матрица после идентификатора (М) и символа присвоения “ := “ вводится с помощью меню: Вставка Матрица, - или с панели инструментов «Матрица». В окне необходимо ввести число строк (Row) и число столбцов (Column). Извлечь элемент из матрицы можно с помощью идентификатора с подстрочными индексами Mi,j . Индексы «i» и «j» означают номера строки и столбца соответственно. Индексы матрицы не надо предварительно определять в отличие от индексов таблицы. Счет индексов начинается с нуля. Однако, если в математическом выражении используется весь массив матрицы, необходимо ввести определение индексов. Построчные индексы располагаются до матрицы и определяются как дискретная переменная в диапазоне значений. Результаты вычисления представляются в виде матрицы автоматически.


Функции.


При вводе функции в скобках необходимо перечислить без пробелов через запятую те аргументы, влияние которых на функцию интересует.

A(x,t) := x + C · t.

При записи математического выражения используется символ присвоения «:=». При первом вводе символ равенства «=» может автоматически заменяться символом присвоения «:=». Символ равенства «=» используется как команда к вычислению, это знак вывода. Этот символ имеет кнопка на основной панели. Вычисление будет производиться при нажатии кнопки F9. Для автоматического вычисления по символу «=» необходимо установить галочку в окне Автовычисление меню Математика.

Для ввода операторов (сумма, интеграл, предел) используется панель CALCULUS (Калкулус, Исчисление), а для ввода функций - кнопка «f(x)», вызывающая окно Встроенные функции «Insert Function» различных категорий (Function Category). Например, тригонометрическая категория (Trigonometric) позволяет определить угол по тригонометрической функции: «asin» - arcsin, «аcos» - arccos, «аtan» - arc tg, «аcot» – arc ctg.

Для вывода малых чисел можно

- установить новый порог нуля (Zero Threshold) с помощью меню: ФорматированиеРезультат, в окне Форматирование результатов (Result Format), выбрать вкладку Точность (Tolerance) и установить новое значение Порога нуля (Zero Threshold),

- ввести ориентировочный порядок после знака равенства «=» (а=10-20 ·■).


Результаты расчетов.


Результаты расчетов могут быть представлены в виде последовательности, матрицы, таблицы, графика, анимации.

Для формирования графических зависимостей необходимо переменную задать в виде интервала с шагом: a:=2,4..10 (первое и последнее число показывают границы интервала, разность между первым и вторым числами показывает шаг перебора). Шаблон графика вызывается из меню: Вставка – График – Х-У-участок. На горизонтальной оси на месте черного квадрата помещается переменная, ранее заданная в интервале с шагом (а). При записи функции в скобках должны быть указаны все переменные (но не константы), в том числе подстрочные индексы: b(a,i,j). На вертикальной оси помещается функция, у которой интервальная переменная задается в общем виде, а подстрочные индексы – конкретными номерами вариантов: b(a,0,2). После набора запятой (,) курсор перемещается строчкой ниже для записи другого варианта функции. После «клика» вне поля рисунка на графике появляются зависимости разных цветов.


Сохранение результатов.


Файл MathCad (.mcd) может быть экпортирован с помощью операции «Вставка / Файл» в документ Word, предварительно выделив все или часть информации пунктирной областью в документе MathCad (.mcd), затем скопировать. Открыть документ Word и вставить информацию из буфера обмена.