Додавання гармонічних коливань (150248)

Посмотреть архив целиком













РЕФЕРАТ

на тему:”Додавання гармонічних коливань


План


  1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття.

  2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

  1. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.

    1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття


Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань


(1)


Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою



Або


(2)


Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

Так-як вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

(3)

або з урахуванням того, що одержуємо:


Рис.1


(4)

і

(5)


Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює


(6)


Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо


(7)


Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо де (), то ;

Якщо де (), то .

Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:


(8)


Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і (). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому


(9)

(10)


Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

(11)

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою


(12)


Вираз (12) підставимо в (11)


. (13)


або


(14)


Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)


(15)


Результуюче коливання биття матиме вигляд:


(16)


де – амплітуда биття.


Рис.2


Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

, звідки (17)


Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою


, звідки (18)


Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено


(19)


За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому


(20)


З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться


(21)


звідки а для частот

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:


(22)


Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.


2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу


Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою циклічною частотою у взаємо перпендикулярних напрямках (рис. 4).

При збудженні коливань матеріальна точка С буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Рівняння коливань точки в напрямках осі x і осі y матимуть вигляд


(23)


де – спільна різниця фаз цих коливань.

Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь час t.



Рис.4



В результаті отримаємо


(24)


Рівняння (24) є рівнянням траєкторії результуючого коливання точки С. Це рівняння є еліпсом, осі якого повернуті відносно осей x і y. Орієнтація еліпса і величина його півосей залежить від амплітуд і і різниці фаз .

Розглянемо окремі випадки.

  1. Нехай , де Тоді



Звідки

(25)


Результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої з частотою ω і амплітудою (рис.5).


Рис.5


Пряма утворює з віссю x кут

  1. Нехай де

У цьому випадку



Звідки


(26)


Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис.6).

  1. Нехай де В результаті одержуємо рівняння


(27)


Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 7). Якщо , то еліпс перетворюється в коло.


Рис.6


Рис.7


Два окремі випадки і відрізняються напрямком коливання по еліпсу або по колу.

У випадку, коли циклічні частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнута траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнуті траєкторії, які рисуються одночасно коливальною точкою у взаємно перпендикулярних напрямках, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, які додаються.

На рис. 8 показана одна із найпростіших траєкторій, одержаних при додаванні взаємно перпендикулярних коливань з відношенням циклічних частот 1:2 і різниці фаз . Рівняння коливань мають вигляд:


,

. (28)


Рис. 8


Якщо відношення частот дорівнює 1:2, а різниця фаз то траєкторія коливань точки вироджується в незамкнуту криву (рис. 9), вздовж якої рухається точка то в одну до в протилежну сторони.


Рис. 9


Чим ближче до одиниці буде відношення частот , тим складнішою буде фігура Ліссажу. Для прикладу на рис. 10, наведена крива фігури Ліссажу з відношенням частот 3:4 і різниці фаз .


Рис. 10


3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування


Розглянемо вільні затухаючі коливання, амплітуда яких внаслідок втрат енергії реальною коливальною системою зменшується з часом. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Закон затухання коливань визначається властивостями коливальних систем. Як правило розглядають лінійні системи – ідеалізовані реальні системи, у яких параметри, які визначають фізичні властивості системи, у ході процесу не змінюються. Лінійними системами є, наприклад, пружинний маятник при малих деформаціях пружини (в межах дії закону Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежать ні від струму в контурі, ні від напруги. Різні за своєю природою лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, які дозволяє підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точки зору.

Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді


(29)


де x – коливна величина, яка описує той або інший фізичний процес, – коефіцієнт затухання, ω0 – циклічна частота вільних незатухаючих коливань тієї ж коливальної системи, тобто при (при відсутності втрат енергії).

Щоб знайти розв’язок рівняння (29), слід фізичну величину х виразити через нову змінну z відповідно до рівняння


(30)


де z = z (t). Після підстановки першої і другої похідних від рівності (30) в рівняння (29) одержимо


(31)


Розвязок рівняння (31) залежить від знака коефіцієнта перед шуканою величиною. Розглянемо випадок, коли цей коефіцієнт позитивний, тобто .

Тоді одержимо рівняння типу


(32)


де

. (33)


Розв’язком рівняння (32) є рівняння типу (9) першої теми:


(34)


Після підстановки (34) у (30) для випадку малих затухань одержуємо розв’язок рівняння (29) у такому вигляді:


(35)


де ─ амплітуда затухаючих коливань, Ао - початкова амплітуда.

Залежність (35) показана на рис. 11 суцільною лінією, а амплітуда коливань — пунктирними лініями.

Проміжок часу , протягом якого амплітуда затухаючих коли- вань зменшується у е разів, називається часом релаксації.

Затухання порушує періодичність коливань, тому затухаючі коливання не є періодичними, а тому до них поняття періоду або частоти незастосовне.


Случайные файлы

Файл
13583.rtf
160237.rtf
177987.rtf
71989-1.rtf
R1.DOC




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.