Вимушені механічні й електромагнітні коливання (150145)

Посмотреть архив целиком














РЕФЕРАТ


на тему:”Вимушені механічні й електромагнітні коливання




План


1. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування

2. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Параметриний резонанс

3. Змінний струм.

    1. Резонанс напруг




1. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування


Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), який змінюється за гармонічним законом:



Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила


(1)


З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді



Якщо скористатися позначеннями , , то прийдемо до рівняння


(2)


Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто



де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.

Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0, амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 1). З цього моменту часу розв’язком рівняння (2) буде лише функція


(3)


Рис. 1


Відповідні похідні від (3) підставимо в рівняння (2), одержимо

(4)

У виразі (4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 2).

Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що


. (5)


Рис. 2


Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнювати


(6)


Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює


(7)


З урахуванням співвідношень (6) і (7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (2) матиме вигляд


(8)


Якщо розглянути електричний коливальний контур, то роль змінної величини в цьому випадку буде мати е.р.с., або змінна напруга


(9)


Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі, з урахуванням (9), буде мати вигляд


(10)


Використовуючи позначення, аналогічні до (2), прийдемо до рівняння


(11)


Розвязком рівняння (11) є функція, аналогічна до (3), тобто


(12)


Амплітуда заряду вимушених електромагнітних коливань буде дорівнювати


. (13)


Підстановка значень і в (13) дає значення амплітуди електромагнітних коливань в такому вигляді


(14)


Похідна за часом від (12) дає можливість одержати в коливальному контурі закон зміни електричного струму


,


де максимальний струм у коливальному контурі.


2. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Парамет-ричний резонанс


Розглянемо залежність амплітуди А вимушених механічних або електромагнітних коливань від частоти ω. Механічні й електромагнітні коливання будемо розглядати одночасно, називаючи коливну величину або зміщенням (х) коливного тіла від положення рівноваги, або зарядом (Q) конденсатора.

З формули (3.6) випливає, що амплітуда А зміщення має максимум. Щоб визначити резонансну частоту — частоту, при якій амплітуда А зміщення досягає максимуму, — потрібно дослідити на максимум функцію . Диференціюємо підкореневий вираз цієї функції по ω і прирівнюємо його до нуля:


,


Ця рівність виконується при двох умовах і фізичний зміст яких має лише позитивне значення. Отже, резонансна частота буде дорівнювати


(15)


Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушеної сили до , називається резонансом (відповідно механічним або електричним). У випадку коли значення практично збігається з власною частотою коливної системи. Підставляючи (15) у формулу (6), одержимо


(16)


На рис. 3 наведені залежності амплітуди вимушених коливань від частоти при різних значеннях β. З виразів (15) і (16) випливає, що чим менше β, тим вище і правіше лежить максимум даної кривої. Якщо , то всі криві (див. рис.3) сходяться в одній точці, яка відповідає, відмінному від нуля граничному значенню амплітуди так званому статичному відхиленню.


Рис.3

У випадку електромагнітних коливань . Якщо то всі криві мають асимптотичне наближення до нуля. Показані на рис. 3 криві називається резонансними кривими.

З формули (16) випливає, що при малому затуханні резонансна амплітуда зміщення буде мати вигляд


. (17)


Поділимо значення резонансної амплітуди (17) на статичне значе-ння амплітуди , одержимо добротність коливальної системи


(18)


де ─ логарифмічний декремент затухання. Як видно з (18), добротність коливальної системи характеризує її резонансні властивості. Чим більше число добротності, тим більша резонансна амплітуда.


Рис. 4


Залежність φ від ω при різних коефіцієнтах β графічно показана на рис. 4, з якого випливає, що при зміні ω змінюється і зсув фаз φ. З формули (7) видно, що при ω = 0, φ = 0, а при незалежно від значення коефіцієнта затухання β, φ = π/2, тобто сила випереджає по фазі коливання на π/2. При подальшому збільшенні ω зсув фаз зростає і при , , тобто фаза коливань майже протилежна до фази зовнішньої сили. Сімейство кривих, зображених на рис. 4, називається фазовими резонансними характеристиками.

Зупинимось коротко на явищі параметричного резонансу. Виявляється, що існують інші види зовнішніх взаємодій, з допомогою яких можна значно збільшити амплітуду коливань. Цей вид взаємодій полягає в тому, що в такт коливань періодично змінюють один із параметрів коливальної системи. Так наприклад збільшують довжину математичного маятника l, коли він перебуває в крайніх положеннях і дещо зменшують її, коли маятник проходить положення рівноваги, від цього маятник почне сильно розгойдуватись, амплітуда коливань буде швидко зростати, тобто наступить явище параметричного резонансу.

Збільшення енергії маятника відбувається за рахунок виконання механічної роботи по зміні довжини маятника. Сила тяжіння маятника в цьому випадку є різною, ─ меншою в крайніх положеннях і більшою при проходженні маятником положення рівноваги. Відємна робота, яку виконують зовнішні сили по збільшенню довжини маятника є меншою за додатну роботу по зменшенню довжини маятника в положенні рівноваги. За час одного повного коливання (період коливань) сумарна робота по зміні довжини маятника є більшою за нуль.

Прикладом параметричного резонансу є коливання гойдалки. Без будь-яких зовнішніх впливів дитина, перебуваючи на гойдалці, сама здатна збільшувати амплітуду коливань. Потрібно лише в крайніх положеннях присідати, а в положенні рівноваги ─ підніматись. В цьому випадку коливальна система поповнюється енергією за рахунок мускульної сили ніг.

Явища резонансу можуть бути як шкідливими, так і корисними. Наприклад, при конструюванні машин і різного роду споруд необхідно, щоб їх власна частота коливань не збігалася з частотою можливих зовнішніх впливів, інакше можуть виникнути вібрації, які приведуть до значних руйнувань. З іншого боку, наявність резонансу дозволяє знайти навіть дуже слабкі коливання, якщо їх частота збігається з частотою власних коливань приладу. Так, телебачення, радіотехніка, прикладна акустика, що сприймають електричні коливання, засновані на використанні явища резонансу.


3. Змінний струм


Вимушені електромагнітні коливання, які виникають в ланцюзі, що містить резистор, котушку індуктивності і конденсатор, можна розглядати як змінний струм. В той же час змінний струм вважають квазістаціонарним, так як миттєві значення сили струму в усіх перетинах ланцюга практично однакові. У порівнянні із швидкістю світла будь які зміни в ланцюзі відбуваються досить повільно. Для миттєвих значень квазістаціонарних струмів виконуються закон Ома і правила Кирхгофа.

Розглянемо послідовно процеси, які відбуваються в ланцюзі, який містить резистор, котушку індуктивності і конденсатор при вмиканні його до джерела змінної напруги

(19)


де — амплітуда напруги.

1. Розглянемо ланцюг, в який ввімкнули лише резистор R, а індуктивність L і ємність С ─ відсутні (рис.5,а).


Случайные файлы

Файл
57167.rtf
65190.rtf
129470.rtf
23222-1.rtf
43391.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.