Физическое описание явления фильтрации жидкости (MATH1)

Посмотреть архив целиком

30

1. Физическое описание явления фильтрации жидкости

1.1. Закон фильтрации однородной жидкости

Фильтрация представляет собой движение жидкости в пористой среде под действием перепада давления. Основной характеристикой фильтрационного движения является вектор скорости фильтрации u определяемый следующим образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее элементарную площадку S. Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости Q. Тогда проекция вектора u на нормаль к выделенной площадке равна lim Δ Q/(p S), где p – плотность жидкости. Подчеркнем, что масса жидкости делится на полную площадь S, а не на ее часть, занятую порами.

Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации - устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение. Некоторые сведения о законе фильтрации можно получить, исходя из самых общих представлений.

Окружим точку пористой среды некоторой малой окрестностью; поле скоростей фильтрации в этой окрестности можно считать непрерывным, а все параметры пористой среды и насыщающей ее жидкости - постоянным. Нельзя пренебречь лишь изменением давления, как бы мало оно не было, поскольку при постоянном по пространству давлении движение полностью отсутствует (по существу это утверждение является основной гипотезой). Поскольку изменение давления в окрестности данной точки определяется градиентом давления, основное предположение при установлении вида закона фильтрации состоит в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется свойствами жидкости и пористой среды и градиентом давления grad p. Пористая среда характеризуется геометрическими параметрами - характерным размером d и некоторыми безразмерными характеристиками: пористостью m, безразмерными параметрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен являться следствием уравнений количества движения жидкости в поровом пространстве, поэтому в систему определяющих величин следует включить также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения, т.е. плотность p и вязкость. Таким образом, предполагается, что существует зависимость градиента давления grad p от вектора скорости фильтрации u, геометрических характеристик пористой среды m, d и т.д. и характеристик жидкости и . Среди величин, от которых зависит grad p, только скорость фильтрации u является вектором. В силу изотропии среды (т.е. независимости ее свойств от вращений и отражений системы отсчета) зависимость grad p от u должна быть инвариантной относительно вращения вокруг направления вектора u.

Поэтому вектор grad p должен быть направлен по одной прямой с вектором u. В самом деле, предположим обратное, т.е. пусть вектор grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u. Если повернуть выбранную произвольную систему координат относительно направления вектора u на некоторый угол, то ни вектор u , ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменится. Следовательно, не должен измениться и вектор grad p, зависящий только от этих параметров. Но если grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u, то при повороте его направление относительно координатных осей обязательно изменится. Отсюда вытекает, что вектор grad p может обращен только по направлению вектора u, так что


grad p= - си, (1)


где с - некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости u, а также величин d, m, p, .

Рассмотрим сначала такие фильтрационные движения, для которых несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит, в силу их крайней медленности, большинство фильтрационных движений, встречающихся на практике. При этом плотность р, характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина c зависит только от u, d, m и . Выпишем размерности интересующих нас величин:


(2)


Из пяти величин (2) можно выбрать три с независимыми размерностями (например, u, m, и d). Тогда, согласно - теореме, анализа размерностей искомая зависимость будет связывать две безразмерные комбинации указанных величин. В качестве одной из безразмерных величин удобно взять пористость m, в качестве другой выберем cd2/. Таким образом, имеем


cd2/= f (m), c=d-2f(m). (3)


После этого уравнение (1) может быть представлено в виде:


(4)


Это соотношение называется законом фильтрации Дарси (по имени французского ученого, установившего его экспериментально в 1856г.). Величина k=d2/f(m), вводимая уравнением (4), носит название проницаемости. Проницаемость имеет разномерность площади; она не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В физической системе единиц проницаемость измеряется в см2. Однако проницаемость большинства горных пород выражается при этом весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10-8-10-9см2; проницаемость плотных песчаников - около 10-10 см2. Ввиду этого в нефтепромысловой практике получила распространение единица проницаемости 1Д (дарси)= 1,02 10-8 см2.

В практике гидротехнических расчетов вместо давления обычно используется напор H = p/g, и закон Дарси записывается в виде:


(

5)


Величина C, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации.

Функция f в выражении (3) зависит не только от пористости, но и от других безразмерных характеристик геометрии порового пространства. Были сделаны многочисленные попытки представить в качестве функции пористости и характерного размера для типичных пористых сред как путем рассмотрения простейших моделей, так и путем обработки опытных данных. Все полученные результаты носят частный характер и имеют узкую область применимости. Наибольшей известностью из формул этого рода пользуется уравнение Козени - Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность и пористость m:


(6)


Постоянная К определяется из опыта и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении удельной поверхности порошков.

Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползущего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е. очень малыми числами Рейнольдса (Re << 1). Поэтому представляются нецелесообразными многочисленные попытки получить закон Дарси путем осреднения уравнений Навье - Стокса. Ясно, что любой такой вывод будет сводиться в конечном счете к попытке вычислить проницаемость по известной геометрической структуре пористой среды.

Закон Дарси имеет весьма широкую область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации. Существуют, однако, случаи, когда линейный закон фильтрации Дарси не применим. Эти случаи, необходимые обобщения закона Дарси и возникающие при этом нелинейные задачи теории фильтрации будут рассмотрены ниже. Пока же будем считать все рассматриваемые движения подчиняющимися закону Дарси.

До сих пор предполагалось, что пористая среда изотропна. Если пористая среда не является изотропной, то из общих соображений можно утверждать, что в произвольной ортогональной декартовой системе координат х1, х2, х3 компоненты вектора grad p выражаются через компоненты ui вектора следующим образом:


(7)


где cij - некоторый тензор. В случае безинерционных движений компоненты тензора cij могут зависеть только от вязкости жидкости , тех или иных геометрических характеристик пористой среды и модуля вектора скорости фильтрации .

Аналогично выводу формулы (7) можно показать, что cij=rij, где тензор rij зависит только от геометрических характеристик пористой среды и вызывает тензором удельных фильтрационных сопротивлений; компоненты тензора rij имеют размерность обратной площади. Выражая, наоборот, компоненты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем


(8)


где тензор kij является обратным тензору rij, также зависит от геометрических характеристик пористой среды, имеет размерность площади называется тензором проницаемости. Эта зависимость представляет собой закон Дарси для анизотропной пористой среды.

Покажем теперь, что тензор сопротивлений rij и тензор kij являются симметричными, т.е. rij = rij, kij = kij. В самом деле, на пористую среду со стороны фильтрующейся жидкости действует объемная сила, пропорциональная градиенту давления; безразмерный множитель пропорциональности зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Удельная работа этой силы, т.е. работа за единицу времени на единицу объема системы жидкость - пористая среда, равная удельной диссипации энергии жидкостью в пористой среде, равна скалярному произведению


(9)


Очевидно, что удельная работа сил взаимодействия жидкости с пористой средой не должна зависеть от выбора осей координат х1, х2, х3. Но для того чтобы квадратичная форма rβα , пропорциональная этой удельной работе, не зависела от выбора системы координат, необходимо и достаточно, чтобы rαβ = rβα Аналогично можно показать, что kαβ = kβα

В приложениях особую роль играет анизотропия естественных пористых сред, связанная с осадконакоплением. В этом случае проницаемости вдоль слоев имеют одно значение, а в перпендикулярном направлении - другое, обычно значительно меньшее. Поэтому одна из главных осей тензора проницаемости - х3 перпендикулярна плоскости напластования, а две другие - х1 и х2 можно выбрать произвольно в плоскости напластования. Система х1, х2, х3 будет главной системой в каждой точке пористой среды; в этой системе имеем


k11=k22=k; k33=k0; k12=k21=k32=k23=k31= k 13=0. (10)


Закон Дарси в выбранной системе координат записывается в силу соотношений (10) следующим образом:


(11)



1.2. Зависимость параметров жидкости и пористой среды

от давления


Поскольку движение жидкости в пористой среде вызывается перепадом давления, окончательная формулировка большинства задач теории фильтрации заключается в составлении дифференциальных уравнений для распределения давления и в установлении соответствующих начальных и граничных условий. Как при составлении этих уравнений, так и при решении их необходимо знать, как зависят от давления характеристики пористой среды и насыщающей ее жидкости.

1. Рассмотрим прежде всего влияние давления на свойства жидкости - плотность и вязкость .

Для капельных жидкостей - воды и нефти - изменения плотности обычно невелики. Встречающиеся в фильтрационных движениях перепады давления (десятки кгс/см2) весьма малы по сравнению с модулями объемного сжатия К капельных жидкостей (5103- 2104 кгс/см2). Поэтому для приложений достаточно ограничиться линейной зависимостью


(12)


Следует, однако, иметь в виду, что хотя сжимаемость капельных жидкостей и мала, она играет значительную роль в тех случаях, когда возмущения давления захватывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залежи обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем которой значительно больше объема нефти в залежи; в результате этого расширение воды при снижении давления может полностью компенсировать извлекаемый объем нефти). Зависимостью вязкости капельных жидкостей от давления при изменении давления в тех же пределах можно обычно пренебречь.

Фильтрационные движения газа характеризуются тем, что при их исследовании, с одной стороны, почти всегда можно пренебречь изменениями температуры, считая их малыми, а с другой, - тем, что ввиду больших абсолютных значений давления и перепадов считать газ идеальным можно лишь с большой натяжкой. Уравнение состояния газа обычно записывают в виде:


(13)


Преимущества такой записи связаны с тем, что для функции z (p,T), называемой коэффициентом сверхсжимаемости, составлены таблицы и графики, охватывающие ряд практически важных случаев, и имеются простые способы приближенного вычисления ее для газовых смесей. Температура в этом уравнении обычно можно считать постоянной и рассматривать как параметр. Отклонение z от единицы (газа от идеальности) значительнее для более тяжелых углеводородных газов.

Согласно элементарной кинетической теории газов, вязкость газа не должна зависеть от давления. Это утверждение также не применимо к условиям, характерным для газового пласта. При фиксированной температуре вязкость газа может изменяться на десятки процентов при изменении давления на десятки атмосфер.

2. Рассмотрим теперь вопрос, как зависят от давления жидкости свойства пористой среды - ее пористость m и проницаемость k. Обе эти величины характеризуют структуру порового пространства, и их изменение в любой точке определяется давлением жидкости и тензором напряжений, действующих в скелете пористой среды. При этом следует отметить, что в опытах определяется их зависимость не от истинных напряжений, действующих в скелете, а от некоторой их части, которую мы назовем фиктивными напряжениями. Для выяснения этого обстоятельства разберем следующую элементарную схему опыта. Пусть в цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения, равной единице, находится некоторый объем пористой среды, в котором содержится жидкость под давлением p. На верхней грани этого объема лежит непроницаемый поршень, по другую сторону которого находится жидкость под тем же давлением p. В силу известного принципа гидростатики - принципа отвердевания - эта система находится в состоянии равновесия. Для выяснения зависимости пористости от нагрузки приложим к поршню дополнительную нагрузку q. Вычислим сжимающее нормальное напряжение, действующее в сечении объема пористой среды плоскостью, параллельной поршню; для этого составим уравнение равновесия части рассматриваемого объёма, ограниченной поршнем и плоскостью сечения. Пренебрегая силами трения о стенки вмещающего сосуда и собственным весом среды и жидкости, получаем


+mp=q+p; = q+p(1-m), (14)


где - истинное напряжение, действующее в пористой среде (в расчете на единицу площади общего сечения) и, очевидно, не равное приложенной нагрузке q. Изменение пористости в зависимости от давления при фиксированной нагрузке в целом мало существенное, учитывается отдельно (это изменение обусловливается сжимаемостью материала зерен, составляющих пористую среду, которая мала сравнительно со сжимаемостью пористой среды в целом, так как изменение пористости происходит в основном за счет более плотной упаковки зерен и лишь в очень небольшой мере - за счет их сжатия; если вообще не учитывать сжимаемость материала зерен, составляющих пористую среду, то пористость при фиксированной нагрузке не будет зависеть от давления жидкости). Можно показать также, что при фиксированных напряжениях изменение давления жидкости вообще не будет приводить к изменению объема скелета, независимо от того, какова сжимаемость его материала. Таким образом, рассматриваемый опыт дает нам зависимость пористости от нагрузки q, составляющей лишь часть истинных напряжений, действующих в скелете пористой среды:

q=f = -p(1-m). (15)


Величину f будем в дальнейшем называть фиктивным напряжением.

Важная особенность пористой среды, отмеченная выше, заключается в том, что изменения занятого ею объема могут происходить при весьма малых изменениях собственного объема твердого скелета, почти исключительно за счет его перестройки. Простейшей моделью подобной системы может служить пружина, погруженная в воду. Объем цилиндрического тела, ограниченного пружиной, практически не изменяется при изменении давления жидкости и может сильно измениться, если приложить по концам противоположно направленные силы. В формулу для вычисления осадки пружины следует подставлять величину истинных напряжений за вычетом слагаемого, обусловленного давлением жидкости.

Аналогичные соображения применимы и в более общих случаях. Таким образом, опыт, поставленный в условиях произвольного нагружения, даст нам зависимость пористости не от тензора истинных напряжений, действующих в скелете пористой среды, а от тензора фиктивных напряжений. Ввиду того что при действии на пористую среду одного гидростатического касательные напряжения в пористой среде не возникают, касательные компоненты тензора истинных напряжений и тензора фиктивных напряжений и тензора совпадают, а нормальные компоненты отличаются на величину р(1-m), имеем


(

i, j=1, 2, 3,…) (16)


г

де
компоненты тензора фиктивных напряжений; компоненты тензора истинных напряжений; δij=1 при j=i, δij=0 при i?j,

Будучи величинами скалярными, пористость и проницаемость могут зависеть только от инвариантов тензора фиктивных напряжений. Зависимостью их от второго и третьего инвариантов тензорафиктивных напряжений пренебрегают, откуда


(17)


где ==- главные нормальные фиктивные напряжения, а среднее напряжение.

Величину можно связать с давлением р, если рассматривать напряженные состояние в пласте. Пусть Н - глубина залегания пласта, h-его мощность, а 0 - средняя плотность горных пород. Обыкновенно нефтяные пласты располагаются на значительной глубине под дневной поверхностью и их мощность мала сравнительно с глубиной залегания, т. е. h< с изменением давления р. В самом деле, лежащие над пластом горные породы поддерживаются скелетом пласта и насыщающей пласт жидкостью, так что вес вышележащих горных пород уравновешивается системой напряжений в пористой среде и гидродинамическим давлением жидкости. Составляющую пласт системы жидкость - пористая среда можно представить себе как некоторую деформированную систему, касательные напряжения в которой совпадают с касательными напряжениями в пористой среде, а нормальные напряжения равны сумме истинных нормальных напряжений, действующих в пористой среде, и доли нормальных напряжений, воспринимаемых жидкостью (эта доля равняется, очевидно, произведению пористости на давление жидкости). Имеем, таким образом, выражение для компонента суммарного напряжения δij:


(

18)


Пусть р- суммарная плотность системы жидкость - пористая среда, а gi - компонента вектора ускорения силы тяжести по оси хi. Тогда уравнение равновесия системы жидкость - пористая среда имеет вид:


(19)


Считая жидкость слабосжимаемой, можно положить в уравнении (19) р=р*, где р* - постоянное исходное значение суммарной плотности. Таким образом, суммарное уравнение равновесия системы жидкость - пористая среда окончательно записывается в виде:


(20)


и, как видно, это уравнение не зависит от времени. Покажем теперь, что и суммарные напряжения на кровле и подошве пласта (т. е. на верхней и нижней ограничивающих пласт поверхностях) можно с большой степени точности считать постоянными. Физически объяснения этого факта сводится к следующему: упругое смещение, обусловливаемое изменением давления жидкости, насыщающей породу пласта, пропорциональное, очевидно, мощности пласта, распределяется на всю огромную толщину Н вышележащего массива горных пород, так что соответствующие относительные деформации в этом массиве малы и, следовательно, малы возникающие в нем дополнительные напряжения, в частности дополнительные напряжения на кровле и подошве пласта.

Поясним это несколько подробнее. Предположим, что давление жидкости, насыщающей пласт, изменилось по сравнению с исходным моментом на величину р. Обозначим величину изменения давления жидкости в том месте, где оно максимально, через р макс. Для поддержания вышележащих горных пород необходимо, чтобы напряжение в скелете пористой среды внутри пласта изменилось также на величину порядка р. Соответствующая относительная деформация в пласте составило величину порядка р/Е, где Е- некоторый эффективный модуль Юнга системы, а полное вертикальное смещение точки, например кровли пласта, - величину порядка v = hр/Е, где h- мощность пласта. Заметим теперь, что, закрепив точки свободной поверхности, т. е. обеспечив на свободной поверхности равенство нулю упругих смещений, а также заменив во всех точках пласта р на рмакс, мы можем лишь увеличить возникающее дополнительные напряжения. Таким образом, если на свободной поверхности вышележащего массива смещение равно нулю, а на глубине Н оно имеет величину порядка vмакс=h рмакс /Е, то, очевидно, соответствующее напряжение макс имеет величину порядка макс =vмакс Е/H. отношение этого дополнительного напряжения к действующему на глубине Н вертикальному напряжению сжатия, имеющему порядок 0gH(0 - cредняя плотность горных пород - величина, примерно равная 2,5 г/см3), равно по порядку величины


(21)


Значение рмакс/0gH обычно не превышает одной-двух десятых; величина h/Н исчезающе мала, так что изменение напряжения во всем вышележащем массиве и, в частности, на его границах мало сравнительно с исходным напряжением. Поэтому можно считать, что при изменении давления жидкости в пласте напряжения, действующие на кровле и подошве пласта, остаются постоянным.

Предыдущее рассуждение существенно основано на том, что модуль Юнга системы жидкость - пористая среда Е и модуль вышележащего массива горных пород Е1 имеют одинаковый порядок величины (что обычно имеет место в действительности). Если бы эти модули Юнга сильно отличались между собой, то выражение (21) содержало бы дополнительный множитель Е1/Е и при Е1>> Е отношение напряжений могло бы и не быть малым. Физически это означает, что в случае, когда вышележащая толща сложена из очень жестких пород, могут образоваться своды, и при изменении давления жидкости напряжения на кровле и подошве пласта будут меняться.

Есть теперь пренебречь влиянием таких границ области фильтрации, как стенки скважин (эти границы имеют сравнительно очень малую протяжность; их влияние будет оценено ниже), то из независимости от времени уравнений равновесия системы жидкость - пористая среда (20) и напряжений на кровле и подошве пласта следует важный вывод о независимости суммарного напряженного состояния в системе жидкость - пористая среда от времени, так что



О

ткуда (22)


Свертывая уравнения (22) (т. е. полагая i, j=1, 2, 3 и суммируя получающие уравнения), имеем


(23)


о

ткуда вытекает важное соотношение

===


2. Основные задачи нестационарной фильтрации

2.1. Уравнение неразрывности

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S. За бесконечно малое время dt приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости фильтрации


(24)


(

единичный вектор нормали; за положительное направление нормали принято направление внешней нормали к поверхности; un - нормальная к поверхности составляющая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости внутри этого элемента равняется


(25)


Приравнивая выражения (24) и (25) и используя формулу преобразования поверхностного интеграла в объёмный



н

аходим


о

ткуда в силу произвольности элемента V и вытекает уравнение неразрывности

(26)


2.2. Упругий режим фильтрации


1. Самым простым и наиболее изученным случаем нестационарной фильтрации является фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте (в технических приложениях эти задачи получили название задач упругого режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений закона фильтрации и уравнения неразрывности:

(27)


Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность и вязкость ), так же как и пористость и проницаемость пористой среды, являются функциями давления (мы предполагаем движение изотермическим).

В силу (23) имеем