Упругие волны (149819)

Посмотреть архив целиком

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 1. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо­образной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро­страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро­стью υ. Процесс распространения колебаний в пространстве на­зывается волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч­ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику­лярных к направлению распространения волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Н

Рис. 1.1


Рис. 1.2


а рис.
1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час­тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ¼ υT, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час­тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положе­ния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положе­ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав­новесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь υT, достигнет частицы 5.

На рис. 1.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведе­ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско­ростью υ.

На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблют­ся не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но­вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран­ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко­лебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по­верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по­верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со­бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче­ской волне множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия кото­рых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

Н

Рис. 1.3


а рис.
1.3 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый мо­мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Р

(1.1)

асстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ =υT,

где υ скорость волны, T период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ­ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2 (см. рис. 1.3).

З

(1.2)

аменив в соотношении (1.1) T через 1/v (v частота коле­баний), получим

λv = υ.

К

Рис. 2.1


этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает
v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле­бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ.



§ 2. Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

(2.1)

= (х, у, z, t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что описывает колебания час­тицы с координатами х, у, z. Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние λ, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции , в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от х и t: = (х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид

(х, t) = a cos (t + ).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время = x/υ (υ скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

(х, t) = a cos [ ( t − ) + ] = a cos [ ( t − x/υ ) + ].

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

(2.2)

= a cos [ ( t − x/υ ) + ]

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны определяется выбором начал отсчета х и t. При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

З

(2.3)

афиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

( t − x/υ ) + = const

Э

dt –


1

υ

dx


=

0,

то выражение определяет связь между временем
t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим

о

υ.

υ.

ткуда

(2.4)


Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

С

(2.5)

огласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

= a cos [ ( t + x/υ ) + ]

Д

υ,

ействительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф­ференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.

У

λ

k =


(2.6)

,

равнению плоской волны можно придать симметричный отно­сительно
х и t вид. Для этого введем величину

к

υ

k =


ω

(2.7)

оторая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения
(2.6) на частоту v, можно пред­ставить волновое число в виде

(

(2.8)

см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

= a cos ( t + kx + )


Случайные файлы

Файл
160301.rtf
42632.rtf
143433.rtf
35809.rtf
27127-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.