Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения (referat2)

Посмотреть архив целиком

В.Кинетические Свойства


§ 6. Кинетическое уравнение


Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tvk. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки rtvk в момент времени 0:


fk(r, t) = fk(r – tvk, 0). (35)


Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть


fk/t]diff = – vkfk/r = – vkfk. (36)


2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству


(37)


Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)


следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью


(39)


(мы использовали здесь обозначение fk/k для градиента в k-пространстве — оператора k).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью


fk/t]scatt = ∫{ fk' (1 – fk) – fk (l – fk')}Q(k, k') dk'. (40)


Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk') — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 – fk). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk(r) равна нулю, т. е.


fk/t]scatt + fk/t]field + fk/t]diff = 0. (41)


Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим


gk = fkf0k. (42)


где

f0k = 1/{exp[(E k)/kT] + 1} (43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим


gk(r)=fk(r) – f0k{3T(r)}. (44)


Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например


gk(r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем


vkfk /r – e /ħ(E + 1/c[vk H]) fk /k = – fk /t]scatt , (46)


или


vkfk /T Te /ħ(E + 1/c[vk H])  f0k /k = – fk /t]scatt + vkgk /r + e /ħ(E + 1/c[vk H]) gk /k. (47)


С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде


(f0 /E)vk{( E (k) – ) / TT + e (E – 1/e)} = – fk /t]scatt + vkgk /r + e /ħc[vk H] gk /k. (48)


Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (Egk /k) порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk [vk H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk(r) к функции распределения. Функция gk(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.


§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем


(– f0 /E)vkeE = – (f0 /t)]scatt = (fk– fk)Q(k,k)dk= (gk– gk)Q(k,k)dk (49)


Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk.

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:


– fk /t]scatt = gk/ (50)


Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону


– gk /t = gk/, (51)


или


gk(t) = gk(0)e – t / . (52)


Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим


gk = (– f0 /E) vkeE (53)


Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что


f0kevk(r)dk 0,


использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– f0 /E) ведет себя как -функция от (E), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой


J = E, (56)


где – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть


(vk vk E) = v2xE, (58)


что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому

(59)



где мы ввели длину свободного пробега


= v. (60)


Случайные файлы

Файл
93926.rtf
ГОСТ 28622-90.doc
85517.rtf
70630.rtf
154326.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.