Движение в центрально-симметричном поле (3_f)

Посмотреть архив целиком

Национальный Технический Университет Украины

«Киевский Политехнический Институт»








Реферат

По курсу: Квантовая Механика

На тему:

« Движение в центрально – симметричном поле »











Выполнил студент

группы ДС-71

Садрицкий Роман.














Киев-1999г.

Содержание:

  1. Движение в центрально-симметричном поле.

  2. Падение частицы на центр.

  3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

1.Движение в центрально-симметричном поле.


Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами ) , взаимодействующих по закону -расстояние между частицами), имеет вид


(1,1)


где - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-векторов частиц и новые переменные и :


(1,2)


- вектор взаимного расстояния, а - радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:


(1,3)


( и - операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов и ;

- полная масса системы; - приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать в виде произведения , где функция описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой ), а описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы в центрально-симметричном поле ).

Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид


(1,4)


Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде


.

(1,5)


Если ввести сюда оператор квадрата момента:


,


то мы получим


(1,6)


При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента и его проекции . Заданием значений и определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде


(1,7)


где - сферические функции. Поскольку , то для «радиальной функции» получаем уравнение

(1,8)


Это уравнение не содержит вовсе значения , что соответствует -кратному вырождению уровней по направлениям момента.

Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой


(1,9)


уравнение (1,8) приводится к виду


(1,10)


Если потенциальная энергия везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция , а следовательно, и ее радиальная часть