Kinemaatika põhimõisted


Nagu öeldud, füüsika on teadus mis käsitleb kehade liikumist. Selleks aga tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk parameetrid, mis on: asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.

Asukoht (koodinaadid).

Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis määravad keha kauguse mingitest kindlaksmääratud kohtaest, koordinaat-telgedest. Kolmemõõtmelises ruumis on asendi mäaramiseks vajalik kolm arvu (koordinaati), kahemõõtmelises (tasapinnal) kaks ja ühemõõtmelises (joonel) uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama kui kolemõõtmelisi ruume, näiteks võttes neljanda mõõtmena kasutusele aja, aga kui tarvis, veel teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tähtis, et juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest, vaid oleksid täiesti sõltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid kõik teljed üksteisega risti, kuigi neid võib olle palju rohkem kui kolm).

Kõige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete ristiolevate telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse näiteks USA-s linnade planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on üksteisega risti ja nummerdatud kasvavas järjekorras alates linna keskpunktist. Positiivsete ja negatiivsete väärtuste asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’ ja ‘West’ lisandeid.

Cartesiuse koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha määramiseks, vaid seda saab teha ka mõne testsuguse kolme arvu kombinatsiooni abil, peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud kirjeldavad, oleksid ikka omavahel ristsuundades. Näiteks tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste ja kerakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn. polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult üks neist (raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nurgad, mis määravad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määratud punkti jõutakse. Esimene on nurk (teeta), mis määrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk , mis mäarab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist. Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus ‘põhjalaius’ on sisuliselt 90°- ja idapikkus on Kuna määratavad punktid asuvad kõik Maa pinnal, siis raadius oleks kõigi jaoks umbes 6000 km ja see jäetakse kirjutamata. Maapinna kohal õhus või maa sees olevate punktide koordinaatidele tuleks aga raadiuse väärtus juurde lisada. Polaarkoordinaate allpool näiteks elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis.


Liikumine, kiirus

Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutväärtus ja suund.

Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Teepikkus s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemõõtmelises ruumis avaldub teepikkus alg ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu järgmiselt

(1.1)

Pikkuse (teepikkuse) ühikuks on meeter, m. Meeter on ligilähedaselt 1/40000000 Maa ümbermõõtu, kuid täpne ühik on kokkuleppeline ja oli pikemat aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist siinil, mida hoiti Pariisi lähedal, nüüd aga on meeter seotud teatud aine aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on üks kolmest põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu.

Kiirus

, kust ja (1.2)

Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ühikuks on sekund, s. Sekund on ligilähedaselt 1/(365.25x24x60x60) keskmise astronoomilise ööpäeva pikkusest, kuid tema täpne väärtus on praegu seotud teatud aine poolt kiiratava valguse võnkeperioodiga. Sekund on üks kolmest põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Näiteks kiiruse ühik on m/s ehk m s-1 ja see on tuletatud põhiühikutest. Suurem osa tuletatud ühikuid on seotud põhiühikutega andes viimastele väärtuse 1.

Nii teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised komponendid. Kahemõõtmelisel (tasapinnalisel juhul) vektori s kaks komponenti on sx=scos; sy=ssin

Ebaühtlase liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse kiiruse muutusega ajaühikus. Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest:

(1.3)

Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib sx, sy ja sz suhtes eraldi. Kiirenduse ühik on m s-1 s-1 = m s-2 (loe: meeter sekundis sekundis).

Kiirendusega liikumise kiirus

(1.4)

kui alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v0.

Kiirendusega liikumisel läbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist (integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult ülemine rada):

(1.5)

ja teepikkuse s läbimiseks kuluv aeg (1.4)

Juhul, kui algkiirus on null, siis

, (1.5)

kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s läbimiseks:

(1.6)

ja kiiruse v, mis saavutatakse teepikkuse s läbimisel

(1.7)

Maa raskuskiirendus on g=9.81 m s-2 ja see määrab vabalt langevate kehade liikumise kiirenduse.

Ülesanded: Kuidas määrata torni kõrgust ampermeetri ja stopperi abil?

Kui suure algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30 m kõrgusele?

Kui kõrgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 kraadi all kaldu?

Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek?

Vähemalt kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushüppaja äratõuge ja missuguse nurga all tuleb see suunata, et püstitada uus maailmarekord (oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)?


Ringikujulisel (elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi leidmiseks tutvume kõverjoonelise liikumise kiirendusega, millest lihtsaim on ringjooneline liikumine.

Kõverjoonelise (ringjoonelise) liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline) kiirus

(1.8)

kus r on raadius, on tiirlemisperiood ja on tiirlemissagedus. Ristikiirendus

(1.9)

kus on nurk-kiirus. Nurkkiirust mõõdetakse pöördenurga suurenemise kiiruse kaudu, ühik on radiaan sekundis. Täisring on 2 radiaani, seega üks tiir sekundis tähendab nurkkiirust 2 radiaani sekundis.


Dünaamika põhimõisted ja seadused: jõud, impulss, töö, energia


Newtoni esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade mõju (jõud) ei põhjusta selle seisundi (kiiruse) muutumist.

Ühtlane ja sirgjooneline liikumine on võimalik ainult avakosmoses väga kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kõik kehad gravitatsioonivälja mõjusfääris ja neile mõjub Maa külgetõmbejõud. Demonstratsioonkatseks on mõjudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine horisontaalsel peegelpinnal, kus raskusjõud on liikumisega risti ja hõõrdumisjõud on minimaalne. Ka piljardikuulid liiguvad küllatki ühtlaselt ja sirgjooneliselt kuni põrkumiseni.


Newtoni teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus) on võrdeline rakendatud jõuga ja toimub jõu suunas.

ehk (2.1)

kus f on jõud, m on keha mass ja a on kiirendus. Võrdetegur, mis seob kiirenduse jõuga on pöördvõrdeline keha massiga, s.t. üks ja seesama jõud põhjustab seda suurema kiirenduse mida väiksem on keha mass. Jõud f ja kiirendus a on vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata suurus). Massi ühik on kilogramm (kg). Üks kilogramm on ligilähedaselt ühe dm3 puhta vee mass, kuid täpne massi etaloon on plaatina-iriidiumi sulamist metallkeha, mis on hoiul Pariisi lähedal. Kilogramm on seega üks kolmest põhiühikust, mille suurus on kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Tuletatud ühiku näiteks on jõu ühik: üks njuuton (N) on jõud, mis annab massile üks kilogramm kiirenduse üks m s-2

Mass: kaal ja inerts

Massil on kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on need kaks omadust alati võrdelised ja massi suurust saab määrata nii ühe kui teise kaudu. Kaalumine on massi mõõtmise viis gravitatsioonijõu kaudu. Mitu N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on raskusjõud, millega Maa tõmbab keha. Raskusjõud annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s-2, sel ajal kui 1 N annab kiirenduse vaid 1 m s-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8 N. Sama mass 1 kg kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vähem, seega umbes 1.6 N. Keha kaal sõltub ka asukohast Maal (ekvaatoril on Maa pöörlemisest tulenev tsentrifugaaljõud suurem ja see vähendab kaalu). Kaalu vähendab ka õhu üleslüke. Seega, üks kilogramm udusulgi kaalub vähem kui 1 kg rauda, kui ei arvestata õhu üleslükke parandit. See parand on seda suurem, mida lähdasemad on kaalutava keha ja õhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga täidetud õhupall omab negatiivset kaalu. Õige kaalu määramine oleks õhu üleslüket arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete või vedelikega, on selle tähtsus suhteliselt väike. Kui küsite poest ühe kg leiba, siis soovite te tõepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega küsimine kilogrammides ja mitte njuutonites on füüsikaliselt õige. Kui müüja kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see sõltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis võrreldakse omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei sõltu laiuskraadist.


Newtoni kolmas seadus: Mõju (jõud) on võrdne vastumõjuga (vastujõuga) . Kui esimene keha mõjutab teist jõuga f siis teine keha mõjutab esimest jõuga –f. Klassikaline näide: paadist kaldale hüpates tõukate paati kaldast eemale. Kumb aga liigub kiiremini, teie või paat?

Kahe keha vastasmõjul saavad mõlemad kiirenduse pöördvõrdeliselt nende kehade massiga:

ehk (2.2)

Newtoni kolmandal seadusel põhineb rakettmootori töö. Igal ajamomendil paiskab reaktiivmootor suhteliselt väikest kütuse massi suure kiirendusega tahapoole, selle tulemusena liigub rakett kui suurem mass väiksema kiirendusega vastassuunas. Protsess on pidev seni kuni mootor töötab ja kuna kiirendus mõjub mõlemale, nii raketile kui kütusele võrdse aja jooksul, siis lõppkokkuvõttes suhtuvad ka raketi ja ruumi väljapaisatud kütusemassi kiirused nii nagu valem (2.2) näitab kiirenduste kohta. Kui näiteks raketi ja kütuse massid on võrdsed, siis on lõpuks võrdsed ja vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus raketi ja ruumipaisatud kütuse vahel on aga selles, et rakett kui tahke keha omab ühte kindlat kiirust, kütuse põlemisprodukt aga on gaasiline ja valem (2.2) kehtib selle ruumilise massikeskme kohta.

Ka lindude lendamine (ja isegi loomade või inimese ujumine) on sisuliselt reaktiivliikumine, sest teist võimalust kui Newtoni kolmanda seaduse abil õhust raskemal kehal õhus (veest raskemal kehal vee peal) püsimiseks ei ole. Lind lükkab tiibadega õhku allapoole, mõjutades õhumassi jõuga ja andes õhule allapoole liikumise kiirenduse, samal ajal vastujõud tõukab lindu ülespoole. Linnu ülespoole liikumise kiirendus on niisama suur kui raskuskiirendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mõlemad kompenseeruvad ja lind lendab konstantsel kõrgusel. Matemaatiliselt, , kus m1 on linnu ja m2 tiibade all liikuma pandud õhu mass ning a on viimasele antud kiirendus.

Ülesanne: Selgitada, mis ühist on lennuki reaktiivmootoril, propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeerimisel.


Üks tähtsamaid kiirendusest tulenevaid jõude on kesktõmbejõud ja kesktõukejõud ringlikumisel, mis on võrdsed javastassuunalised. Keha liigub ringikujulist trajektoori mööda tänu jõule, mis tõmbab teda keskpunkti suunas. Kesktõmbejõud võib olla gravitatsioon (Maa tiirlemine ükber Päikese), elektromagnetiline (elektroni tiirlemine ümber tuuma) või mehaaniline (nöör mis ühendab lingukivi käega, tsentrifugaalpumba korpus, mis suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga ega nedes kehadeski esine lõppkokkuvõttes muud kui elektromagnetilised jõud). Kesktõukejõud tekib keha inersti tõttu, tema püüdest likuda sirgjooneliselt puutujat mööda. Kesktõukejõud ringliikumisel avaldub järgmiselt

.

kus on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega järgmiselt:

ehk , seega

Kui suur on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera raadius on 6000 km. Nurkkiirus on 2/(24x3600) = 7.27x10-5 radiaani sekundis. Asendades need värtused valemisse (??) saame f=100x(7.27x10-5)2x6x106 = 100x52.8x10-10x6x106= 3.168 N. Poolusel kaalub 100 kg 981 N. Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032 ehk 0.32%. Meie laiuskraadil ja ekvaatoril on see suhe veel umbes poole väiksem.

Tsentrifugaaljõu praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba arendatav rõhk mootori pööretest?


Liikumise hulk ehk impulss.

Kui püüate väga massiivset keha, näiteks autot, liikuma lükata, siis tuleb jõudu rakendada küllalt kaua, enne kui saavutate vajaliku kiiruse, näiteks küllaldase mootori käivitamiseks ilma starteri abita. See tähendab, et keha poolt saavutatud kiirus sõltub jõu mõjumise ajast. Kasutame kiiruse arvutamiseks kahte seost: , kust

Suurust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on võrdeline jõuga ja selle mõjumise ajaga ning toimub jõu suunas.

Impulsi jäävus liikuvate kehade vastasmõjudes on energia jäävuse kõrval üks looduse põhiseadusi. Näiteks kahe piljardikuuli põrkel või kahe gaasimolekuli põrkel

Impulsi muutus kehade vastasmõjul on võrdne ja vastassuunaline, süsteemi summaarne impulss on konstantne. Impulsi mõistet kasutame allpool gaaside rõhu arvutamisel.


Töö ja energia.


Töö on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja jõu suunas läbitud teepikkuse korrutisega

Töö ühik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on töö, mida teeb jõud üks njuuton ühe meetri pikkusel teel. Tööd tehakse siis, kui liigutatakse mingit keha avaldades sellele jõudu. Näiteks, tõstes 50 kg viljakotti maast 1m kõrgusele vankrile tehakse töö mis võrdub koti kaal (njuutonites !) korda vankri kõrgus, 50x9.8x1=490 J. Kui vesi langeb 20 m kõrguses joas käivitades turbiini, siis iga kg vett teeb tööd 20x9.8=295 J.

Kui jõud on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv sõltuvalt asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida võib liikumise ja jõu kui vektori komponente kolme koordinaadi suunas eraldi

Tüüpiline muutuva jõu poolt tehtud töö arvutus on seotud keha asukoha muutusega teise keha gravitatsiooni- või elektriväljas. Näiteks, Newtoni gravitatsiooniseadus väidab, et kahe keha vahel mõjub gravitatsioonijõud, mis on võrdeline nende kehade masside korrutisega ja pöördvõrdeline nedevahelise kauguse ruuduga:

Elementaartöö, mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist kaugust dx võrra oleks

ja liikumisel üle mingi pikema vahemiku tehtud töö oleks


Kui teepikkus on määratud, tuleb integraal võtta radades liikumise algpunktist lõpp-punkti. Valem ??? näitab, et kui kahe keha vaheline jõud kahaneb kauguse suurenedes pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga, siis tehtud töö kasvab kauguse kasvades pöördvõrdeliselt kaugusega. Tõmbuvate kehade vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha välist tööd, kui kehad lähenevad, siis nad teevad ise tööd. Tõukuvate kehade, näiteks samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine: tõukuvate kehade lähendamiseks tuleb teha välist tööd, kui need kehad eemalduvad teineteisest, siis nad teevad ise tööd. Viimase juhu näiteks oleks aatomite lähenemine, kus välise elektronkihi elektronid tõukuvad üksteise elektriväljas. Tahkete kehade kokkupuude ja hõõrdumine ongi väliste elektronkihtide tõukumine, tegelikku füüsilist kokkupuudet ei esine kunagi.

Võimsus on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus tehtud töö hulgaga.

Võimsust kasutatakse näit. mootorite ja küttekehade hindamisel, teadmaks kui palju tööd need suudavad ajaühikus teha. Võimsuse ühik on Watt [W] = [J] [s]-1 üks Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav võimsus on näiteks 40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50 – 100 kW. Elektrienergia hulga mõõtmiseks kasutatakse ühikut kilovatt-tund (kWh), see on töö, mida teeb võimsus 1 kW ühe tunni = 3600 s jooksul. Üks kWh = 1000 J s-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.


Energia on keha võime teha tööd.


Energiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jõuväljas asuva keha potentsiaalne energia. Energia jäävuse seadus on looduse põhiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub ühest vormist teise. Seega, looduses toimub kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja potentsiaalse energia muundumine kineetiliseks.

Liikuva keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju tööd tuleb teha, et keha (massiga m) kiirust suurendada paigalseisust kuni väärtuseni v. See töö moodustabki likuva keha kineetilise energia.

Töö=energia:

Kui suur aga on teepikkus s mille lõpuks saavutatakse kiirus v? Kasutame seost (1.7)


, kust


Teades, et , asendame selle ja saame

Nüüd on selge, et


Kineetiline energia on võime teha tööd. Liikuva keha peatumisel võib ta enese ees lükata teist keha mõjudes sellele jõuga ja tehes tööd. Kui auto sõidab vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab plekke paigast ja murrab sõitjate luid. Tähelepanu, et auto kiiruse suurenemisel kaks korda suureneb kineetiline energia neli korda! Niisugustel deformeerivatel põrgetel muutub kineetiline energia peamiselt molekulide soojusenergiaks. Kineetiline energia muutub potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha peatab jõuväli, näiteks kui viskame kivi ülespoole. Gravitatsioonivälja jõud peatab lõpuks kivi liikumise, kuid kivi kineetiline energia on muundunud tema potentsiaalseks energiaks. Sama juhtub elektronidega, kui nad saavad lisaks kineetilist energiat (näiteks aatomite põrgetel või valguse neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale.


Jõuväljas asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu gravitatsioonivälja maapinna lähedal. Arvutame, kui palju tööd tuleb teha keha (massiga m) tõstmiseks kõrgusele h.

Gravitatsiooniväli ja elektriväli on nn. potentsiaalsed väljad, kus keha potentsiaalse energia muutus sõltub ainult alg-ja lõppasukohast, mitte aga vahepealse liikumise trajektoorist. Tehtud töö on sama, ükskõik millist rada mööda liigutakse samade alg- ja lõpp-punktide vahel. Vabal inertsel liikumisel jõuväljas (ilma välismõjudeta) potentsiaalne ja kineetiline energia pidevalt muunduvad teineteiseks, nii et summaarne energia on kogu aeg sama:

Näiteks kõrguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et kukkumise lõpuks

, kust

Ülesvisatava kivi maksimaalkõrguse võime samuti leida tema algenergia (algkiiruse) kaudu.

Kineetilise ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka lihastetöös. Näiteks võib teoreetiliselt arvutada, kui kõrgele saab hüpata kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on 0.1 mM, eeldades, et ATP keemiline energia kõik muutub hüppel kineetiliseks energiaks.

Eelmised ülesanded on lihtsad, sest ülesvisatud keha kõrgus muutub suhteliselt Maa raadiusega sedavõrd vähe, et rakusjõudu saab lugeda konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, näiteks nagu kosmoselendudel, või nagu elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa ei gravitatsiooni- ega elektrivälja jõudu enam konstantseks lugeda vaid töö (energia) arvutamisel tuleb arvestada, et jõud muutub koos kaugusega.


Jõudude tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel.


Looduses asuvad kõik kehad üksteise jõuväljades, suuremad kehad gravitatsiooniväljas, väikeste kehade puhul on oluline elektriväli. Ometi ei kuku tõmbuvad kehad üksteise peale, sest sellisel juhul oleks kogu Universum ammu kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud aatomituumadesse ja planeedid nende Päikestesse. Loodust stabiliseerib see, et kehad tiirlevad üksteise ümber, nii et kesktõmbejõud ja kesktõukejõud on võrdsed ja radiaalsuunalist kiirendust (jõudu) ei esine. Kasutades füüsikast teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise (elektrilise) kesktõmbejõu ja inertsiaalse kesktõukejõu kohta saab nende tasakaalutingimustest tuletada näiteks kui suur on tiirleva keha potentsiaalne, kineetiline ja summaarne energia.


Mõlemad, nii elektrivälja kui ka gravitatsioonivälja tugevus (mõjuv jõud) kirjelduvad ühe ja sellesama seadusega:

gravitatsiooniväli: ja elektriväli:


kus m on keha mass, e on keha laeng (indeksid näitavad esimese ja teise keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k määrab seose kasutatava ühikute süsteemiga. Kui masse mõõdetakse kilogrammides, siis gravitatsioonijõu saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant kg väärtust ????. Kui laenguid mõõdetakse Coulombides (Kulonites, C) siis elektrostaatilise tõmbejõu saamiseks Njuutonites elektriväljakonstant ke omab väärtust ????.

Muide, selles, et need konstandid ei oma väärtust 1, väljendub füüsikalise mõõtühikute süsteemi ajalooliselt kujunenud ebajärjekindlus. Süsteemselt õige oleks olnud massiühikuks võtta niisugune mass, mis teist samasugust tõmbab ühe pikkusühiku kauguselt ühikulise jõuga. Seesama ühikuline jõud aga peab andma ühikulisele massile ka ühikulise kiirenduse. Et see aga nii tuleks, peaks nii massi, pikkuse kui ajaühikut vastavalt muutma. Praegused põhiühikud ei ole üldse seotud gravitatsiooniseadusega. Samasugune on lugu elektrilaenguühikutega. Formaalselt peaks laenguühik Coulomb (Kulon) olema defineeritud kui laeng mis tõmbab teist samasuurt vastasmärgilist laengut pikkusühiku kauguselt ühikulise jõuga. Tegelikult on aga Coulomb defineeritud hoopis magnetvälja kaudu: Coulomb on laeng, mis liikudes ühe sekundi jooksul läbi 1 m pikkuse traadi mõjutab teist samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt jõuga 1 N. See definitsioon baseerub magnetväljal, mis on liikuvate laengute ümber ruumis. Elektrivälja jõud avaldub nüüd aga ülaltoodud kaliibrimiskonstandi kaudu.

Leiame keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsümmeetrilises gravitatsiooni- (elektri-) väljas. Kuna jõud on tugevasti kaugusest sõltuv, siis tuleb kindlasti rakendada integreerimist. Laengu liikumisel elektriväljas väga lühikesel teepikkusel tehtud töö on

kus liikumise teepikkust tähistame seekod raadiuse (kugus tsentrist) muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r1 raadiusele r2, peame integreerima vastavates radades:

Valem näitab, et tsentraalsümmeetrilises elektriväljas liikudes muutub laengu potentsiaalne energia pöördvõrdeliselt kaugusega tsentrist. Analoogiline valem kehtib ka gravitatsioonivälja kohta, ainult et seal esinevad kahe laengu asemel kaks massi ja elektrivälja konstandi asemel gravitatsioonikonstant. Kui laeng liigub tsentrist eemale, siis r2>r1 ja negatiivne liige on väiksem kui positiivne, seega siis potentsiaalne energia kasvab. Vastupidi, potentsiaalne energia kahaneb, kui laeng liigub tsentrile lähemale. Potentsiaalse energia nullnivoo on aga kokkuleppeline. See võiks olla üks äärmuslikest seisunditest, kas või (lõpmatus). Siiski, raadius ei saa olla null, sest siis läheneb energia lõpmatusele, seega jääb kokkuleppeliseks nulliks nivoo, kus laengud asetsevad teineteisest lõpmatu kaugel. Lähenedes aga nende potentsiaalne energia kahaneb, seega muutub negatiivseks, ja läheneb miinus lõpmatusele kui laengud kohtuvad. Niisugune potentsiaalse energia nullnivoo definitsioon, mis on hea elektronide ja tuumade vahelise mõju kirjeldamiseks aatomites, on erinev igapäevakogemusest gravitatsioonilise energiaga, kus nulliks loeme tavaliselt energia maapinnal ja energia loeme positiivselt kasvavaks kui keha maapinnast kaugeneb. Kui valemis ??? , st. elektron läheneb tuumale lõpmatu kaugelt, siis tema potentsiaalne energia on alguses null ja kahaneb lõpuks väärtusele




Kuna see energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni liikumise kineetiliseks energiaks, st., lähenedes tuumale elektron liigub kiirenevalt, nii nagu näiteks asteroid liigub kiirenevalt lähenedes Maa pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei lange kunagi tuumale, vaid jääb tiirlema mingil kaugusel ümber tuuma. Tiirlemise kaugus (raadius, on määratud sellega, millal elektriline tõmbejõud võrdub inertsiaalse kesktõukejõuga. Matemaatiliselt avaldub see tingimus järgmiselt:

Selle valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktõukejõu valem keha massiga m ringliikumisel joonkiirusega v ümber tsentri kaugusel r. Valemi parem pool on elektrostaatilise tõmbejõu valem, kuid siin on juba arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on võrdsed, mõlemad väärtusega e.


Eelmisest valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni kiiruse kui tema kineetilise energiaga:

või


Ümber tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui elektron läheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et potentsiaalne energia samal ajal kahanes:

,

ja summaarne energia


Elektroni summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile mis on tuumale lähemal. Kuhu see energiavahe siis läheb, millisesse vormi muutub (kaduda ju ei saa)?

See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas valguskvandi kujul, või kandub üle mõnele naaberaatomile, tõstes selle elektroni vastavalt kõrgemale energianivoole, või eraldub soojusena, s.o. muutub aatomi translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune elektronide ja tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine erineva raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia, keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid tiirlevad tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja võivad seda vabastada kui keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad muutused, mille tulemusena elektronid saavad tuumadele lähemale asuda. Bioloogiliste protsesside energeetika on samadel alustel: fotosünteesis tõstetakse elektron valguskvandi abil kõrgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile, ja metabolismi käigus ta järkjärgult läheneb tuumale, vabastades niimoodi kvandi poolt talle antud energia.

Kas aga elektronid saavad tiirelda ümber tuuma igasugustel kaugustel? Kui see nii oleks, võiks ju vabastada väga suuri keemilise siseenegia koguseid lubades elektronil asuda tuumale väga-väga lähedale (lastes raadiuse nulli lähedale). Tõepoolest, klassikaline füüsika seda lubaks, kuid tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse kvantmehaanilised piirangud, mis klassikalise füüsika abil ei seletu. Järgnevas tutvumegi atomaarse kvantteooria põhialustega.



Случайные файлы

Файл
150366.rtf
122744.rtf
42853.rtf
107209.doc
57395.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.