Теория оптимизации (Пр. Топчеева И.И.) 1 лекция (1-ая лекция)

Посмотреть архив целиком

«Экстремум функций многих переменных»


Поставим задачу: Найти экстремальное значение функции f(x), где х является вектором!

extr f(x)-? ; x=

f(x)- называется целевой функцией; f(x) – непрерывна и дифференцируема для любого xi, i=; xRn, Rn – нормированное пространство (в нём введена норма вектора)

||x||= - норма;

||x(1)-x(2)||= − (расстояние между точками);


Определение 1: Х* - называется точкой локального экстремума функции f(x) (extr f(x)), если >0, и для любого х ||x-x*||< ;

f(x)=f(x)-f(x*)

  1. Если f(x)0 – то х* - точка локального максимума – max f(x);

  2. Eсли f(x)0 – то x* - точка локального минимума – min f(x).



Введём понятие глобального (абсолютного) экстремума функции.

Поставим задачу: Определить extr f(x), в области Д Rn. Воспользуемся теоремой Вейерштрасса. f(x) – определена и непрерывна на ограниченной и замкнутой области Д, то на Д х(1) и х(2), где функция принимает min значение f(x(1))=min f(x), и max

Д

значение f(x(2))=max f(x).

Д

Определение 2: Х* - называется глобальным (абсолютным) extr f(x) на Д, если х* Д, и для любого хД…………………..

  1. Если f(x)=f(x)-f(x*)0 - x* - глобальный min f(x);

  2. Если f(x)=f(x)-f(x*)0 - x* - глобальный max f(x).

Если неравенство строгое, то речь идёт о строгом глобальном экстремуме.




f(x)



x

x1 x2

X3

a

0







х1, х2 – лок. минимум; х3 – лок. максимум.

Рассмотрим точки глобального экстремума:

Для этого рассмотрим, как ведёт себя функция на выбранном интервале: Д'={x: 0xa}; Тогда х2 – точка глобального минимума (т.к. х2 – наименьшая точка в области [0;a].) , а а – точка глобального максимума (т.к а – наибольшая точка , лежащая в выбранном интервале [0;a])

Д''={x: 0x<a} – глобального максимума не существует!!!

Max f(x) – не существует!!!


Д''

Определяем градиент функции f (x):






f(x)=(или grad f(x)) =


Случайные файлы

Файл
65268.rtf
BANKS.DOC
15843-1.rtf
30427-1.rtf
175388.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.