Исследование операций (145729)

Посмотреть архив целиком

29




Московский государственный

Горный университет








Курсовой проект по исследованию операций.



Решение задачи методами линейного,

целочисленного, нелинейного и динамического

программирования.





Выполнил студент группы

ПМ – 1 – 97 Солодовников Д. А.

Научный руководитель: Багрова Г.И.










Москва 1999 г.




Содержание:


Цель курсовой работы ……………………………………………………………..3

Линейное программирование ……………………………………………………..4

Решение задачи методом линейного программирования ……………………….6

Целочисленное линейное программирование …………………………………...9

Решение задачи методом целочисленного линейного программирования …...10

Нелинейное программирование ………………………………………………….15

Решение задачи нелинейного программирования ………………………………15

Динамическое программирования ………………………………………………..20

Решение задачи динамического программирования …………………………….21

Графическая интерпретация решений ……………………………………………25

Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27

О проекте …………………………………………………………………………...28

Цель курсовой работы.

Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования. Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.

Задание:

Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов.

Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну.

Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 – 29,9%.



Наименование показателя



Единицы

Измерения



Предприятия



1


2


3


Max добыча

ПИ


тыс. тонн



740


680


600

Содержание полезного компонента


%


29,1


29,8


30,8


Извлечение



%


80


75


70

Затраты на добычу, транс-портировку и переработку


у.е. /т


6


7


8

Производительность

Состава


тыс. тонн


120


110

106

Коэффициент увеличения затрат при нагрузке:

До 30% -

31 – 50% -

51 – 70% -

71 – 100%-

максимальной










1,8

1,7

1,6

1,4

1





1,7

1,5

1,4

1,2

1





1,9

1,7

1,6

1,3

1


В курсовом проекте введены следующие условные обозначения:

ЛП – линейное программирование;

ЦЛП – целочисленное линейное программирование;

ДП - динамическое программирование.


Линейное программирование.


Основная задача линейного программирования:

Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции.

1) Первый канонический вид:

a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxnb1

a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxnb2

……………………………………

ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxnbi

.……………………………………

am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxnbn

xj0; j=1,n; i=1,m;

Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxnmax (min);


2) Второй канонический вид:

a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn+y1=b1

a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn+y2=b2

………………………………………

ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxn+yi=bi

.………………………………………

am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn+ym=bn

xj0; j=1,n; i=1,m;

Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxnmax (min);


Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду.


Теоремы линейного програмирования:


Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло.


Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.



При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи:

1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1).

2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2).

3) Система ограничений имеет конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3).

4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4).



Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4


C


a b

Рис. 2





Симплекс – метод.

Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа:


1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции.

2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями.

3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.








Решение задачи методом линейного программирования.

Симплекс – метод.


Определить плановое задание добывающим предприятиям, если в работе находится N=12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание Ме (полезного компонента) в пределах 29,9 – 29,9 %




Наименование показателя



Единицы

Измерения



Предприятия





1


2


3


Max добыча

ПИ


тыс. тонн



740


680


600

Содержание полезного компонента


%


29,1


29,8


30,8


Извлечение



%


80


75


70

Затраты на добычу, транс-портировку и переработку


у.е. /т


6


7


8

Производи-тельность

Состава


тыс. тонн


120


110

106


x1, x2, x3количество составов выделенных соответственно предприятиям 1, 2 и 3.

Ограничения:

  • По количеству составов:

,

где n – количество предприятий, N – количество составов.

  1. x1 + x2 + x312

  • По максимальному объему добычи руды с каждого из предприятий:

, где

  1. 120x1 740 или x16,16666 (для предприятия 1);

  2. 110x2 680 или x2 6,18181 (для предприятия 2);

  3. 106x3 600 или x3 5,6603 (для предприятия 3).

  • По содержанию полезного компонента в руде:

по формуле:

где

min минимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

maxмаксимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

iсодержание полезного компонента в руде i – того предприятия,

qiпроизводительность состава i – того предприятия,

имеем:



Упростим неравенства 5, 6:

  1. 34,92x1 + 32,78x2 + 32,648x3 – 35,76x1 – 32,78x2 – 31,588x30

-0,84x1 + 1,06x30; (ограничение по минимально допустимому содержанию

полезного компонента в руде);

  1. 34,92x1 + 32,78x2 + 32,648x3 – 35,88x1 – 32,89x2 – 31,694x30

-0,96x1 – 0,11x2 + 0,954x30

0,96 x1 + 0,11x2 – 0,954x30; (ограничение по максимально допустимому содержанию полезного компонента в руде);


Целевая функция:

, где - цена готовой продукции (у.е. за тонну);

Z = 676800x1 + 459250x2 + 294660x3

Или в тыс. тонн:

Z = 676,8x1 + 459,25x2 + 294,66x3





Вывод:

В результате решения данной задачи было получено значение целевой функции Z = 6048,2412;

x1 = 6,16667 – количество составов для предприятия 1;

x2 = 0,94654 – количество составов для предприятия 2;

x3 = 4,88679 – количество составов для предприятия 3;

Для получения наибольшей выгоды (целевая функция стремящаяся к максимуму достигает своего экстремума) необходимо выполнение предприятиями следующего плана:

Предприятие 1 - Р(план) = 740 – y2 = 740 – 0 = 740 тыс. тонн,

Предприятие 2 – Р(план) = 680 – y3 = 680 – 575,88043 = 104,11957 тыс. тонн,

Предприятие 3 – Р(план) = 600 – y4 = 600 – 82,00002 = 517,99998 тыс. тонн.




















Целочисленное линейное программирование.

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

В некоторых задачах целочисленные значения могут быть равны только 0 или 1, тогда такие задачи называются задачами с булевыми переменными.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.


Решение задачи ЦЛП методом отсечения:

  1. Решение задачи как задачи ЛП.

  2. Если мы получили целочисленное решение, то оно и является решением задачи ЦЛП.

  3. Если мы получаем нецелочисленное решение, то мы к системе ограничений задачи ЛП прибавляем такое ограничение, что полученное нецелочисленное оптимальное решение не может содержаться во множестве допустимых решений и, таким образом, формируем новую задачу ЛП и решаем ее. Цикл повторяется до тех пор пока не будет получено целочисленное решение (решение задачи ЦЛП (если оно существует)).


Решение задачи ЦЛП методом ветвей и границ:

  1. Решаем задачу как задачу ЛП.

  2. Если мы получим оптимальные целочисленные решения задачи ЛП, то они являются также и оптимальными решениями задачи ЦЛП.

  3. Если мы не получим целочисленных решений, то целевая функция Z1 задачи ЛП становится верхней границей оптимального значения Z задачи ЦЛП, потому что значение целевой функции Z при введении в дальнейшем новых ограничений для получения оптимальных целочисленных решений уменьшается.

  4. Затем производится ветвление по одному из нецелочисленных оптимальных решений задачи ЛП. Ветвление осуществляется с использованием некоторых правил по следующей схеме: если nxn+1, то 1) xn; 2) xn+1, где х – нецелочисленное оптимальное решение задачи ЛП, по которому мы осуществляем ветвление, n – ближайшее целое к х не превышающее х.

Правила ветвления:

  1. Выбирается переменная, у которой дробная часть наиболее близка к 0,5.

  2. Выбирается переменная с наибольшим приоритетом по какому — либо качественному или количественному значению.

  3. Переменная выбирается произвольно.

Ограничения введенные при ветвлении добавляются к ограничениям задачи ЛП.

В каждой из вершин находим оптимальные решения полученных путем добавления новых ограничений задач ЛП – 2 и ЛП – 3. Если не у одной из них мы не получили целочисленных оптимальных решений, то мы выбираем ту вершину, в которой получено наибольшее значение целевой функции и производим дальнейшее ветвление. Так продолжается до получения целочисленного оптимального решения одной из задач ЛП.

Вершина называется прозондированной, если:

  1. Мы нашли в ней оптимальное целочисленное решение – решение задачи ЦЛП.

  2. В данной вершине нет оптимальных решений задачи ЛП.

  3. Значение Z в оптимальном решении задачи ЛП не больше текущей нижней границы.

Прочие вершины называются висящими.







Решение задачи методом целочисленного линейного программирования.

Метод ветвей и границ.


Начальные условия берутся из решения задачи ЛП (решение см. выше).



  1. Вершина 1 x1 = 6,17 x2 = 0,9 x3 = 4,9 Z1 = 6048,24

Начнем ветвление по x1 = 6,17, тогда получаем дополнительные ограничения а) x1 6 (1 ветвь) б) x2 7 (2 ветвь).


Решаем сначала ветвь 1. К ограничениям задачи ЛП добавляем ограничение а.

Получаем седьмым ограничением ограничение x1 6;






Решение:




  1. Вершина 2 x1 = 6 x2 = 1,2 x3 = 4,8 Z2 = 6033,7212

Мы получили одно целочисленное решение x1 = 6, следовательно дальнейшее ветвление мы будем проводить по x2 или x3.



Решаем ветвь 2. К ограничениям задачи ЛП добавляем ограничение б.

Седьмым ограничением становится ограничение x1 7.


Решение:



Второй строкой является ограничение задачи ЛП по максимально возможному объему руды с 2 предприятия:

120x1 740 или x16,16666, что противоречит введенному нами условию 6 (б) x1 7. Дальнейшее ветвление из вершины 3 невозможно.


Продолжим ветвление из вершины 2. Как было уже сказано выше, мы можем продолжить ветвление по x2 или x3. Продолжим ветвление по x2. x2 = 1,2, следовательно восьмое ограничение для 1 ветви будет x2 1, а для другой x2. Движемся сначала по ветви 1 в вершину 4.

Решение:

X
1 = 6 x2 = 1 x3 = 5 Z4 = 5993,3501

Мы получили, что все три переменных имеют целочисленное значение,

но, чтобы данное решение являлось решением задачи ЦЛП необходимо и достаточно показать, что при ветвлении по ветви 2 в вершине 5 мы получим значение целевой функции Z5 < Z4. Найдем решение в вершине 5.


Решение:




Z5 = 5991,0396, следовательно Z5 < Z4, значит в вершине 4 мы получили решение задачи ЦЛП.





Интерпретация решения с помощью блок – схемы:


x1=6,1

Z1=6048 x2=0,9

x3=4,9


x16 x17




x1=6

x2=1,2 Система

x3=4,8 несовместна



x21 x22


x1=6 x1=5,6

x2=1 x2=2

x3=5 x3=4


Z=5993 Z=5991


Вершина

Ограничение

ограничения

2

x16

7

3

x17

7

4

x1 6

x21

7

8

5

x16

x22

7

8


















Вывод:

В результате решения я получил, что целочисленное оптимальное решение получается в вершине 4, так как все значения x1=6, x2=1,x3=5 в этой вершине целочисленные и Z5(5991)4(5993), следовательно получено оптимальное решение. Висящая вершина 5 и прозондированные 1,2,3,4.

Плановые задания:

, где P – плановое задание тыс. тонн, q – производительность состава, x – количество составов, i – номер предприятия.

Для предприятия 1:

тыс. тонн;

Для предприятия 2:

тыс. тонн;

Для предприятия 3:

тыс. тонн.




















Нелинейное программирование.

Задача математического программирования называется нелинейной, если нелинейны ограничения или целевая функция.

Задачи нелинейного программирования бывают выпуклого и невыпуклого программирования, с ограничениями и без ограничений, с квадратичными или сепарабельными целевыми функциями. Задачи нелинейного программирования имеют множество экстремальных точек, и сложность решения заключается в выделении глобального оптимума, а не локального как это делается в большинстве классических методов.

Разделяют задачи безусловной и условной оптимизации. Задачами безусловной оптимизации называются задачи оптимизации функции многих переменных без дополнительных ограничений. Существуют следующие методы безусловной оптимизации: покоординатного спуска, градиентные, сопряженных направлений, метод Ньютона. Задачами условной оптимизации называются задачи о оптимизации целевой функции многих переменных f(x1, …, xn) при условии, что эти переменные удовлетворяют следующим ограничениям:

qi(x1, …, xn) = 0,

или

dj(x1, …, xn) 0,


Решение задачи основывается на линейной или квадратичной аппроксимации целевой функции для определения приращений x1, …,xn на каждой итерации.

Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это методы основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации. Точность нахождения решений зависит от количества интервалов, на которых мы находим решение линейной задачи, максимально приближенной к нелинейной. Такой метод позволяет производить расчеты с помощью симплекс-метода. Обычно в линейных моделях коэффициенты целевой функции постоянны и не зависят от значения переменных. Однако существует ряд задач, где затраты зависят от объема нелинейно. Такие задачи решаются следующим способом: решают задачу ЛП с коэффициентами целевой функции при максимальных значениях переменных. Если в решении мы получили переменные, для которых брались коэффициенты, значит задача решена. В противном случае мы изменяем коэффициенты при целевой функции на коэффициенты при вновь полученных значениях переменных и решаем полученную задачу ЛП. Так мы повторяем до тех пор, пока не будет получено на двух последующих шагах одно и то же решение.




Решение задачи нелинейного программирования.

Метод кусочно – линейной аппроксимации.

В нашей задаче есть такая величина, как коэффициент увеличения затрат при нагрузке, который не использовался нами при решении задачи методами ЛП и ЦЛП. Собственно этот коэффициент и введен для превращения задачи в нелинейную путем нелинейной зависимости между увеличением затрат и загрузкой предприятий.


Составим таблицу:


предприятия

Коэффи-

Циент

затрат %

Количе-ство составов

Коэфф.

измене-ния затрат

Затраты на 1т у.е.

Доход

Прибыль

На 1т

у.е.

Прибыль на 1 состав

у.е.

1

2

3

4

5

6

7

8

100

6,17

1

6

11,64

5,64

676,8

70 – 100

4.31–6,16

1,4

8,4

3,24

388,8

50 – 70

3,08–4,31

1,6

9,6

2,04

244,8

30 – 50

1,85–3,08

1,7

10,2

1,44

172,8

до 30

до 1,85

1,8

10,8

0,84

100,8

100

6,18

1

7

11,175

4,175

459,25

70 – 100

4,33-6,18

1,2

8,4

2,775

305,25

50 – 70

3,09-4,33

1,4

9,8

1,375

151,25

30 – 50

1,85-3,09

1,5

10,5

0,675

74,25

до 30

до 1,85

1,7

11,9

- 0,725

- 79,75

100

5,66

1

8

10,78

2,78

294,66

70 – 100

3,96-5,66

1,3

10,4

0,38

40,28

50 – 70

2,83-3,96

1,6

12,8

- 2,02

- 214,12

30 – 50

1,7 – 2,83

1,7

13,6

- 2,82

- 298,92

до 30

до 1,7

1,9

15,2

- 4,42

- 458,52


Где доход (Д) рассчитывается по формуле:

, где

Ц – цена готовой продукции, Е – извлечение, - содержание полезного компонента.

Прибыль (П) рассчитывается по формуле:

П = Д – З , где Д – доход, З – затраты.

Затраты (З) рассчитываются по формуле:

, где С – затраты на добычу, транспортировку и переработку, - коэффициент изменения затрат.


  1. Пусть x1, x2, x3 принимают свои максимальные значения, тогда

Z1 = 676,8x1 + 459,25x2 + 294,66x3MAX


Ограничения:

x1 + x2 + x3 =12 – по количеству составов;

x1 6,17 - максимальный объем добычи руды с предприятия 1;

x2 6,18 - максимальный объем добычи руды с предприятия 2;

x3