1 - 2 КУРС ГОРДИН (Линейные Ду)

Посмотреть архив целиком

15.5. Теория линейных уравнений.

15.5.1. Общие понятия.

Опр. Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

. (20)

Если старший коэффициент отличен от нуля на интервале , т.е. для , то, умножая (20) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

(21)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (21).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале ( на ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

. (22)

Задача Коши для уравнений (21) и (22) ставится также, как и для общего уравнения -го порядка (18) : требуется найти решение уравнения (21) или (22), удовлетворяющее начальным условиям

(23)

где - заданные числа. Для уравнения (18) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести (21) к виду (18): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций . Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (18) заключался в том, что найдётся окрестность точки , в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (21) и (22) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале , на котором выполняются условия теоремы:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции непрерывны на интервале , - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (23) существует единственная функция , определённая на всём интервале и удовлетворяющая уравнению (21) и начальным условиям (23).

Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.

15.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале не менее производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор , который отображает функцию , имеющую производных, в функцию, имеющую производных:

(24)

С помощью оператора неоднородное уравнение (21) можно записать так:

; (25)

однородное уравнение (22) примет вид

. (26)

Теорема 15.5.2. Дифференциальный оператор