1 - 2 КУРС ГОРДИН (Множества, подмножества, элементы множества)

Посмотреть архив целиком

1. Элементы теории множеств.

1.1. Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Задаются множества различными способами. Наиболее простая форма задания множества - перечисление его элементов, например А={2, 6, 15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15). Другая часто применяемая форма задания - указание свойств элементов множества, например - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию .

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с,… Запись (читается: а принадлежит А) или (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Записи , , (а не принадлежит А) означает, что а не является элементом множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Опр.1.1.1. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение - или ).

Согласно этому определению, каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение или . Если одновременно и , т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств =: A=B. (Символы называются символами включения).

Общепринятые обозначения множеств:

N = { 1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел;

Z = {… ,-4, -3 -2,- 1, 0, 1, 2, 3, ….} - множество целых чисел;

Q = - множество рациональных чисел.

R - множество вещественных чисел.

Рассмотрим простой пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N:

А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1},. В этом случае А = С; и , .

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого "наибольшего" множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества - множества А и В, . Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна.

1.2. Операции над множествами.

В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.

Опр.1.2.1. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Объединение множеств обозначается символами "+" и "": . Пусть, например, А={-6, -3, 0, 3, 6} B={0, 2, 4, 6, 8}. Тогда . Геометрически объединение множеств изображено на рис. 2.

Аналогично определяется объединение большего числа множеств.

Опр.1.2.2. Объединением множеств А1, А2, А3, …, Аn (обозначение называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2, А3, …, Аn.

Свойства операции объединения.

Теор. 1.2.1. Справедливы следующие равенства:

  1. (коммутативность);

  2. (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность);

  3. Если , то АВ= А;

  4. А Ø= А.

Док-во. Формулы, подобные формулам 1-2, обычно доказываются так. Берётся элемент, принадлежащий правой части равенства, и доказывается, что он принадлежит левой части. В результате для формулы 1, например, будет доказано, что . Затем берётся элемент, принадлежащий левой части, и доказывается, что он принадлежит правой части равенства; для формулы 1 это будет означать, что . Из включений и следует, что .

Итак, пусть . Это значит, что либо , либо , либо одновременно и . Во всех трех случаях . Включение доказано. Пусть теперь . Это значит, что либо , либо , либо одновременно и . Во всех трех случаях