1 - 2 КУРС ГОРДИН (Операционное исчисление)

Посмотреть архив целиком

20. Операционное исчисление.

Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).

Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Таким образом, мы должны изучить следующие вопросы:

  1. Какие функции могут быть функциями-оригиналами и каковы свойства функций-изображений;

  2. Каковы правила перевода оригиналов в изображения и обратно;

  3. Какие изображения имеют основные элементарные функции (таблица стандартных изображений).

20.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу.

20.1.1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию действительной переменной , удовлетворяющую условиям:

1. при ;

2. Существуют такие постоянные М и , что ;

3. На любом отрезке функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

Смысл этих условий такой.

1. Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то поведение функций до начального момента несущественно;

2
. Параметр
во втором условии принято называть показателем роста функции . Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным.

Приведём примеры функций-оригиналов. Для всех этих функций первое и третье свойства выполняются очевидно, поэтому будем проверять только второе свойство.

  1. Единичная функция Хевисайда. Так называется функция, Очевидно, это - функция-оригинал ().

  2. . Заметим, что с помощью единичной функции Хевисайда определение этой функции можно записать короче: , так как функция в качестве множителя обнуляет любую другую функцию при . Дальше мы будем писать просто , , , и т.д., имея в виду, что все функции начинаются в момент , и при тождественно равны нулю.

Д
ля функции
получаем: при , поэтому .

3. . и т.д.

Примеры функций, не являющихся оригиналами:


  1. Эта функция имеет разрыв второго рода в точке .

  2. Функция имеет бесконечное число экстремумов на отрезке [0,1].

  3. Не существует таких костант М и , что .


20.1.2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала (или преобразованием Лапласа функции