1 - 2 КУРС ГОРДИН (Поверхностные интегралы2)

Посмотреть архив целиком

16.4. Поверхностные интегралы.

16.4.4. Поверхностный интеграл второго рода (по координатам).


16.4.4.1. Определение поверхностного интеграла второго рода.
Пусть в пространстве переменных x,y,z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке задана сторона поверхности), и на которой определена функция R(x,y,z). Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём , нормаль в точке к выбранной стороне поверхности, и площадь проекции части на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое возьмём со знаком "+", если (т.е. если угол между и осью Oz - острый; проекция на орт оси Oz положительна), и со знаком "-", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам х,у, и обозначается .

Теорема существования. Если функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

Если на поверхности , вместе с функцией R(x,y,z), определены функции P(x,y,z) и Q(x,y,z), то, так же, как и интеграл , определяются интегралы и ; в приложениях, как мы видели из рассмотренной в начале раздела физической задачи, обычно рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается .

1
6.4.4.2. Свойства поверхностного интеграла второго рода.
Для этого интеграла, как и для криволинейного интеграла второго рода, имеет смысл формулировать следующие свойства: линейность, аддитивность и зависимость поверхностного интеграла от выбора стороны поверхности: при изменении ориентации поверхности интеграл меняет знак.

16.4.4.3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пусть поверхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. В этом случае имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид . Если поверхность задана уравнением ,