1 - 2 КУРС ГОРДИН (Непрерывность функций)

Посмотреть архив целиком

5. Непрерывность функций.

5.1. Определение непрерывности функции в точке.

Опр.5.1.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:

  1. существует ;

  2. этот предел равен значению функции в точке х0: .

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть неопределена в точке х0, а если она определена в этой точке, то значение f(х0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(х0) существует, и это значение должно быть равно . Переведём опр.5.1.1 на язык -:

Опр.5.1.2. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для 0 существует положительное число , такое что для всех х из -окрестности точки х0 (т.е. если х- х0 ) выполняется неравенство f(x) - f(х0) .

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(х0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости -окрестности 0х- х0 .

Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим х=х - х0, эту величину будем называть приращением аргумента, так как х х0, то х0, т.е. х - БМ величина. Обозначим у= f(x) - f(х0), эту величину будем называть приращением функции, так как |у| должно быть (при достаточно малых х) меньше произвольного числа 0, то у - тоже БМ величина, поэтому


Опр.5.1.3. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Опр.5.1.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности точек области определения, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции сходится к f(х0):

Опр.5.1.5. Функция f(x) не являющаяся непрерывной в точке х0, называется разрывной в этой точке.

Опр.5.1.6. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

5.2. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) определены в точке х0 и некоторой её окрестности и непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)g(x), f(x)g(x), (частное - в случае, когда g(х0)0).

Док-во непосредственно следует из теор.4.4.10 раздела 4.4.6 "Арифметические действия с пределами". Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) определены и непрерывны в точке х0, т.е. , , причём g(х0)0. По теор.4.4.10 существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции в точке х0.

Теор.5.2.2 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка принадлежит области определения функции y=f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует, и .

Док-во. Возьмём 0. Так как f(x) непрерывна в точке х0, то 0, такое что х- х0 f(x)- f(x0). Так как существует = х0, то для 0, такое что 0< t- t0

  (t)- х0. Таким образом, для 0 мы нашли такое 0, что из 0< t- t0

  f(x)- f(x0)= f( (t))- f(), что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Теор.5.2.3 о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Пусть функция определена в точке t0 и некоторой её окрестности и непрерывна в этой точке. Пусть точка принадлежит области определения функции y=f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда сложная функция непрерывна в точке t0.

Док-во непосредственно следует из предыдущей теоремы. Так как (t) непрерывна в точке t0, то . Поэтому , что и означает непрерывность сложной функции в точке t0.

5.3. Непрерывность элементарных функций.

Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

5.3.1. Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х)=C=const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

  1. Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для 0 возьмём =, тогда если х- х0, то f(х)- f(х0)= х- х0=).

  2. Функция y(х)= х2 = х х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

  3. По индукции функция y(х)= хn = хn-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= аnхn, где аn=C=const.

  4. Рациональная функция непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

5.3.2. Непрерывность дробно-рациональных функций: непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

      1. Непрерывность показательной функции . Требуется доказать, что . Рассмотрим разность (формула 6 табл.4.4.10) . Эта разность - БМ функция при х х0, следовательно, ах