1 - 2 КУРС ГОРДИН (обыкновенные ду)

Посмотреть архив целиком

15. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

15.1. Основные понятия.

15.1.1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной , неизвестной функции и её производных (или дифференциалов):

; (1)

(все три переменные - действительны).

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: - уравнение четвёртого порядка.

Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (конечном или бесконечном) называется любая раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Так, функция обращает уравнение в тождество на всей числовой оси (), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция ). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

, (2)

что: 1. Любое решение (2) относительно (для набора постоянных из некоторой области -мерного пространства) - частное решение уравнения (1);

2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных .

Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

; (3)

и получать общее решение в форме

, (4)

решённой относительно неизвестной функции.

15.2. ОДУ первого порядка.

15.2.1. Как следует из определения 15.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (5)

где - независимая переменная, - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

. (6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

. (7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при имеет вид или .

15.2.2. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке области , в которой задана функция , определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку , т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области ; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .


Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции , т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.

Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной С, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С (, где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).

15.2.3. Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция определена в области , точка . Требуется найти решение уравнения

, (8)

удовлетворяющее начальному условию

; (9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ).

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки существует единственное решение задачи ((8),(9)).

Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки достаточно только непрерывности функции ; условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.



15.3. Решение некоторых типов ОДУ первого порядка.

15.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

15.3.1.1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида

. (10)

Пусть - решение этого уравнения, т.е. . Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим

. Соотношение - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения и , и найти значение постоянной на этом решении: . Таким образом, решение поставленной задачи: .

15.3.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

(11)

или . (12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на и умножаем на : .


Уравнение (12) делим на : .

Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:

.


.

В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.

Если функция имеет действительные корни , то функции , очевидно, являются решениями исходного уравнения.


Если функция имеет действительные корни , функция имеет действительные корни , то функции , являются решениями исходного уравнения.

В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; это может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Примеры: 1. .

При такой форме записи общего интеграла решение потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную как : .

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования ; общее решение содержит частное решение при .

2. Найти решение задачи Коши

Решаем уравнение: .

Здесь могут быть потеряны решения постоянная интегрирования записана как . Далее, . Общий интеграл уравнения . Частные решения содержатся в общем интеграле при , решения утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной, , то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения). Всё множество решений: . Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Подстановка значений в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решение удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида ( - постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции , то , и уравнение представляется как . Это - уравнение с разделяющимися переменными.

Пример: .

15.3.2. Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции от своих аргументов:

. (14)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции заменой , или . Подставляя в (14) , , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных . Пример:

- общее решение уравнения.

Как "узнать в лицо" уравнение с однородной правой частью? Введём определение. Функция называется однородной функцией своих аргументов степени , если для любого выполняется тождество . Так, - однородная функция степени 3, - однородная функция нулевой степени. Если - однородные функции одной степени, то уравнение может быть приведено к виду . Примеры: 1. . Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (14). Решаем уравнение относительно производной: делим числитель и знаменатель правой части на : - это уравнении с однородной правой частью.


Случайные файлы

Файл
5022-1.rtf
69413.rtf
13296.rtf
124124.rtf
19364-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.