1 - 2 КУРС ГОРДИН (Числовые Ряды1)

Посмотреть архив целиком

18. Теория рядов.

18.1. Числовые ряды.

18.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность .

Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись

. (18.1.1)

Эквивалентная (18.1.1) форма записи ряда - с применением символа суммы: .

Числа называют членами ряда; , называется общим членом ряда. В результате вычисления значений этой функции при n=1, n=2, n=3, … должны получаться члены ряда .

Примеры. 1. Пусть . Записать ряд.

При n=1 получаем , при n=2 , при n=3 и т.д., ряд имеет вид .

2. Пусть ряд имеет вид . Придумать формулу общего члена.

Эта задача имеет много решений, мы придумаем одно из них. Числители растут линейно с n с шагом 2, поэтому в формуле для числителя должно содержаться 2n. Подбором убеждаемся, что для числителей верна формула 2n-1 (=1 при n =1, 3 при n =2 и т.д.). Также подбором убеждаемся, что для знаменателей можно взять формулу , поэтому . Если нумерацию членов ряда начать с n = 0, то .

Основным понятием теории рядов является понятие сходимости числового ряда. Пусть дан ряд (18.1.1). Составим из его членов конечные суммы, называемые частичными суммами ряда:

Определение. Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда (18.1.1) при , то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Если не существует (в том числе бесконечен), ряд называется расходящимся.

Примеры. 1. Ряд 1+1+1+…+1+…, очевидно, расходится, так как .

2. Ряд 1-1+1-…+(-1)n-1+… тоже расходится, так как и вообще а такая последовательность предела не имеет.

Дальше мы рассмотрим два ряда, к которым в той или иной мере будет сводиться большинство рядов: геометрическую прогрессию и гармонический ряд.

3. Геометрической прогрессией называется ряд . (18.1.2)

Число q называют знаменателем прогрессии. Сразу отметим, что при ряд расходится. При получаем ряд структуры, рассмотренной в примере 1, при - ряд структуры, рассмотренной в примере 2. Пусть теперь . Выведем формулу для частичных сумм. Пусть , тогда . Легко убедиться, что . Решая это уравнение относительно , получим . В этом выражении от n зависит только , при этом Следовательно, конечный существует при , и . Итак, геометрическая прогрессия сходится, если её знаменатель удовлетворяет условию , и её сумма равна .

4. Гармоническим рядом называется ряд

. (18.1.3)

Докажем, что этот ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы с числом слагаемых, равных степеням числа 2: .

Сумма членов в каждой скобке больше 1/2: , , и т.д. Таким образом, . Последовательность, у которой есть стремящаяся к бесконечности подпоследовательность, не может иметь конечного предела, поэтому гармонический ряд расходится.

В дальнейшем мы редко будем находить сумму ряда; в основном, будет ставиться вопрос о сходимости или расходимости ряда. Для вычисления суммы обычно применяются разложения в ряд элементарных функций, которые мы будем изучать дальше, или искусственные приёмы, например, разложения функции на простые слагаемые:

5. . Если общий член ряда представить в виде суммы простых слагаемых , то . Итак, этот ряд сходится, и его сумма равна 1.

18.1.2. Свойства сходящихся рядов.

18.1.2.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда

(18.2.1)

стремится к нулю при