23



http//:www.svkspb.nm.ru

Сложное сопротивление

Под сложным сопротивлением понимают различные комбинации простых напряженных состояний (растяжения, сжатия, сдвига, кручения, изгиба). В общем случае в поперечных сечениях бруса действуют шесть компонентов внутренних усилий: N, Qx, Qy, Mx, My, Mz=Mкр. Нормальная сила N и изгибающие моменты Mx, My вызывают нормальные напряжения. От поперечных сил Qx, Qy и крутящего момента Mz=Mкр возникают касательные напряжения. Знаки: N>0, если она вызывает растягивающие напряжения. Mx и My>0, если они вызывают растягивающие напряжения в точках положительной четверти осей координат (I-ая четверть). На рис. все>0.

Прямой изгиб не принято рассматривать как сложное сопротивление, хотя возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. Сложный изгиб (неплоский изгиб), который вызывается нагрузками, расположенными в разных плоскостях, проходящих через ось балки. Изогнутая ось балки при этом не является плоской кривой. Косой изгиб — такой вид изгиба, когда все нагрузки действуют в одной плоскости, которая не проходят ни через одну из главных центральных осей инерции сечения. Косой изгиб приводят к двум плоским изгибам, раскладывая нагрузку в главных плоскостях zy и zx. В сечении возникают четыре компоненты внутренних усилий: Qx, Qy, Mx, и My. На основании принципа независимости действия сил полные нормальные напряжения равны сумме напряжений от раздельного действия Mx и My. Напряжение в произвольной точке с координатами "x,y": ; Mx,My,x,y подставляются с учетом знака (Mx>0 и My>0, если они вызывают растяжение в I-ой четверти). , Mx=Mcos; My=Msin, угол между "y" и плоскостью действия изгибающего момента М (силовой пл–стью). . Т.к. на нейтральной линии (оси) нормальные напряжения =0, то уравнение нейтр. линии будет: , x0, y0коорд. нейтр. линии, или . Это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат. Ее положение определяется углом наклона к главной оси "х":

. , если JxJy, то нейтр. линия не перпендикулярна к силовой линии. Нейтр. линия при косом изгибе повернута на угол () от оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента, к оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение (на рис. это ось "y").

Наибольшие напряжения будут в точках наиболее удаленных от нейтральной линии: A и B. Для их нахождения надо провести к контуру сечения касательные параллельные нейтральной линии. Условие прочности:

, Wx=Jx/ymax; Wy=Jy/xmax. Для хрупкого материала (чугун) []=[p] (допускаемое напряжение на растяжение). Перемещение (прогиб) "f" определяется геометрическим суммированием прогибов в плоскостях xz и yz: .

. При косом изгибе направление полного прогиба перпендикулярно к нейтральной линии и не совпадает с направлением действующей нагрузки.

В случае неплоского изгиба, когда нагрузки не лежат в одной плоскости, линия прогиба не перпендикулярна нейтральной линии.

Изгиб с растяжением (внецентренное сжатие–растяжение).

Внецентренное растяжение–сжатие такой вид деформации, когда в поперечном сечении жесткого стержня действуют продольная сила и изгибающий момент. Нормальное напряжение в произвольной точке сечения с координатами "x,y" равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов Mx, My: ; знаки: N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если моменты "растягивают" сечение в I-ой четверти. Внецентренное сжатие похоже на косой изгиб, только добавляется нормальная сила. На практике важен случай действия одной силы Р (равнодействующей), когда она не совпадает с осью балки и имеет координаты точки приложения "xp,yp". Внутренние усилия: N=P; My=Pxp; Mx=Pyp. Координаты "xp,yp" называются эксцентриситеты силы Р относительно главных осей инерции x,y. Точка приложения силы Р – полюс. Напряжения:

или ,

радиусы инерции относительно главных центральных осей инерции сечения. Уравнение нейтральной линии, на которой =0, будет: . Отрезки, отсекаемые нейтр. линией на осях координат: . Нейтральная линия и полюс (точка приложения силы) лежат по разные стороны от начала координат.

Чем дальше от начала координат расположен полюс, тем ближе к центру сечения проходит нейтр. линия. Если полюс находится на одной из главных центральных осей инерции, то нейтр. линия перпендикулярна этой оси (например, если хр=0, т.е. точка приложения силы Р находится на оси "y", то , нейтр. линия параллельна оси "х", перпендикулярна оси "y"). Нейтр. линия может как пересекать сечение, так и проходить вне его, в этом случае во всем сечении напряжения будут одного знака: растягивающие или сжимающие. Это важно, например, при расчете кирпичных колон, которые плохо сопротивляются растяжению, и надо, чтобы они только сжимались. Когда сила Р приложена в центре тяжести сечения, то нейтр. линия находится в бесконечности. При перемещении силы Р от центра тяжести в сторону края сечения нейтр. линия перемещается из бесконечности к сечению, оставаясь параллельной самой себе. В какой-то момент она коснется сечения. При этом сила занимает предельное положение, при котором в сечении будут напряжения одного знака. Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой приложение силы Р вызывает в сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения.

Чтобы получить очертание ядра сечения надо задать несколько положений нейтр. линии, касательных к контуру сечения (нигде не пересекая его), определить отсекаемые ими отрезки на координатных осях "хн,yн" и вычислить соответствующие координаты точки приложения силы Р: координаты контура ядра (на рис. n1n1нейтр. линия, А1–соответствующая ей точка ядра сечения). При многоугольной форме контура сечения удобнее нейтр. линию совмещать с каждой из сторон многоугольника. Для прямоугольного сечения – ядро сечения ромб, с диагоналями равными одной трети соответствующей стороны сечения, для круга – круг радиусом R/4, для двутавра – ромб.

Изгиб с кручением

Совместное действие изгиба с кручением наиболее частый случай нагружения валов. Возникают пять компонентов внутренних усилий: Qx, Qy, Mx, My, Mz=Mкр. При расчете строят эпюры изгибающих Mx, My, и крутящих Mкр моментов и определяют опасное сечение. Результирующий изгибающий момент . Макс. нормальные и касательные напряжения в опасных точках (A,B):,

, (для круга: W=осевой момент сопротивления, Wр= полярный момент сопр-ния сечения).

Главные напряжения в наиболее опасных точках (А и В):

Проверка прочности проводится по одной из теорий прочности:

IV-ая: теория Мора:

где m=[p]/[c] – допуст. напр.растяжения/сжатия (для хрупких материалов – чугун).

Т.к. Wp=2W, получаем:

В числителе – приведенный момент по принятой теории прочности. ;

IV-ая: ;

I-ая:

II-ая: , при коэф.Пуасссона =0,3;

III-я:

или одной формулой: , откуда момент сопротивления: