Лекции по Матану (Лекции_ 1_1)

Посмотреть архив целиком

РАЗДЕЛ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ГЛАВА 1:ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

ПАРАГРАФ 1:МНОЖЕСТВА.

Опр. 1: Суммой множеств (объединением) – называют множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

– объединение множеств.









Общий элемент указывается один раз.

Опр. 2: Пересечением множеств (произведением) называется множество, каждый элемент которого принадлежит данным множествам.

– пересечение.









Опр. 3: Разностью множеств и называют множество, каждый элемент которого принадлежит и не принадлежит .







Промежутки.

Вся ось – множество вещественных чисел.




– замкнутый промежуток – сегмент.

– открытый промежуток (интервал).

– полузамкнутый.


РАЗЛИЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ.


1. Первичное множество

N = {1, 2, 3….} – (применяются для счета предметов) множество натуральных чисел.

2. {0, 1, 2, 3, 4…} – множество целых неотрицательных чисел.

3. Z = {0, ±1, ±2…} – множество целых чисел.

4. Q = {p/q} – рациональное множество чисел, где P Î Z, q = N.

Во множестве Q возможны все 4 арифметических действия, за исключением деления на нуль.

Множество иррациональных чисел – множество чисел, которые изображаются бесконечными не периодичными десятичными дробями.

Множество вещественных чисел (действительных) – множество, являющееся объединением Q и иррациональных чисел.

R – множество вещественных чисел.

R = Q È {иррациональные числа}.

Свойства вещественных чисел:

  1. Упорядоченность.

Для любых двух вещественных чисел верно одно и только одно соотношение:








  1. Плотность:

Между двумя любыми не равными вещественными числами лежит бесконечное множество других вещественных чисел.

  1. Неограниченность:

Каким бы не было вещественное число , всегда существует точка , что , и всегда существует , что .

  1. Несчетность.

Вещественные числа нельзя занумеровать, т. к. их больше натуральных ( поддается нумерации.)

  1. Непрерывность.

Опр. 1: Множество называется ограниченным с верху, если существует его верхняя граница (число, которое не меньше всех чисел множества А)





Если существует верхняя граница хоть одна, то существует бесчисленное множество верхних границ.

Опр. 2: Наименьшей из верхних границ, ограничивающих с верху числовое множество , называется его точной верхней границей.

Обозначается: (supremum)

Опр. 3: Множество называется ограниченным снизу, если существует его нижняя граница в (число, которое не больше всех чисел множества ).





Если существует хотя бы одна нижняя граница, то существует бесчисленное множество нижних границ.

Опр. 4: Наибольшая из нижних границ, ограниченного снизу числового множества , называют точной нижней границей.

Обозначается: (infimum).

Опр. 5: Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Формулировка свойства непрерывности множества вещественных чисел.


  1. Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.

  2. Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.


ПАРАГРАФ 2: ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ И КВАНТОРЫ.


К связкам относятся следующие символы:

, , , .

дизъюнкция конъюнкция интликация равносильность

Этими символами связываются высказывания. Под высказываниями понимается предложения, относительно которых подразумевается, что оно ложное или истинное.

– истинно.

– ложно.

– обозначение высказывания.

– дизъюнкция двух высказываний.

Опр.1: Дизъюнкция истина тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

ПРИМЕР:

– 2 вектора лежат на // прямых.

– 2 вектора лежат на одной прямой.

– 2 вектора коллинеарные.


Опр. 2: Логическим умножением (конъюнкция) называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

– квантор всеобщности (любой, всякий, каждый).

– существование (существует)

U – высказывание.

Ū – противоположное высказывание.

ПАРАГРАФ 3:ФУНКЦИЯ


Опр. 1: Переменная величина называется функцией аргумента , если каждому рассматриваему значению из некоторого множества соответствует определённое значение из множества .

область определения функции.

область значения функции.

Способы задания функции:

  1. Аналитический способ. (Т. е. По формуле.)

  2. Табличный.

  3. Графический.

  4. Программа (алгоритм).

Все способы могут использоваться совместно.

Классификация функций
  1. Явные и неявные функции.

А) Функция называется неявной, если она задана уравнением , не решенным относительно .

В) Функция называется явной, если она задана уравнением