Лекции по Матану (Лекции_1_2)

Посмотреть архив целиком

бесконечно малые.

Этот предел отношения может быть различным в зависимости от быстроты стремления бесконечно малой к нулю.

Определения:

  1. Если , то – бесконечно малое высшего порядка, чем (по опр.).

  2. Если , то – бесконечно малое низшего порядка, чем .

  3. Если , то – бесконечно малые одного порядка малой степени.

  4. Если , то – называются эквивалентными бесконечно малыми величинами.
    Запись:

    ~ – эквивалентно
    .

  5. Если не существует, то – не сравнимо малые величины.

    Примеры:

    1. .

    2. .

    3. и – одного порядка …

    4. – бесконечно малое высшего порядка чем .

    5. .

    , не имеет предела при .

    не сравнимые бесконечно малые величины.

    Часто удобно одну из бесконечно малых взять за основную и с ней сравнивать все остальные бесконечно малые

    или – часто означают переменные.

    Опр. 6 Бесконечно малое , называется низшего порядка по отношению к бесконечно малому , если

    .

    Пример:
    ;
    бесконечно малое –
    .
    1.

    высшего порядка, чем .

    Какого же порядка ???
    2.
    .

    имеет 2-й порядок по отношению к .
    3. .

    Следовательно бесконечно малое – , имеет 3-й порядок малости по отношению к .

    ТЕОРЕМА 1:

    Для того чтобы бесконечно малые – и были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бесконечно малой высшего порядка, чем каждая из них в отдельности.

    Доказательство:

    Необходимость:

    Дано:

    Требуется доказать:

    ч.т.д.

    Достаточность:

    Дано:

    Требуется доказать: