Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля (Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля)

Посмотреть архив целиком

РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ


Рекурсивной функцией (РФ) принято называть вычислимую функцию, аргументы и значения которой суть натуральные числа из . Вычислимость понимается интуитивно как существование эффективных правил вычисления значения функции по заданным значениям аргументов из области ее определения. Теории рекурсивных функций были одними из первых формальных уточнений понятия вычислимости. Попытки построения формальных теорий, описывающих подкласс общерекурсивных функций - всюду определенных рекурсивных функций, были обречены на неудачу, так как множество всех ОРФ не является рекурсивно-перечислимым.

Для доказательства этого (от противного) используется диагональный метод Кантора. Действительно, предположим, что множество всех ОРФ является рекурсивно-перечислимым. Иными словами, существует вычислимая, всюду определенная на натуральных числах «нумерующая» функция , областью значений которой является множество . Определим функцию . Очевидно, что функция при сделанном допущении является общерекурсивной, т.е. вычислимой и всюду определенной на натуральных числах. Так как , то существует такое число , что . Рассмотрим значение . С одной стороны, согласно последнему утверждению, . С другой стороны, по определению функции , . Так как речь идет об одном и том же конкретном натуральном числе, получим противоречие, опровергающее исходное предположение о том, что множество всех ПРФ является рекурсивно-перечислимым.

Отсюда следует, что множество ОРФ не может быть определено дедуктивной формальной теорией, множество теорем которой всегда рекурсивно-перечислимо. В то же время, множество всех рекурсивных функций, в том числе и не всюду определенных, согласно тезису А.Черча1, допускает подобную формализацию, известную как теория частично-рекурсивных функций (ЧРФ). Элементы этой теории (теоремы) называются схемами ЧРФ. Аксиомами являются атомарные схемы, интерпретируемые как всюду определенные «базисные» рекурсивные функции. Простейшие правила вывода интерпретируются как способы композиции ЧРФ. Известно несколько равносильных вариантов уточнения этой теории, отличающихся выбором набора базисных функций и деталями определения способов их композиции.

  1. Базисные функции:

, где

Способы композиции:


примитивная рекурсия

;


суперпозиция

;


оператор минимизации (-оператор)

.


  1. Базисные функции:

, где


Способы композиции:


введение фиктивного аргумента справа

,


введение фиктивного аргумента слева

,


примитивная рекурсия

;


суперпозиция

;


оператор минимизации (-оператор)

.


Нумерация чрф.

Принципы нумерации рекурсивно определенных конструктивных множеств описаны в соответствующем разделе пособия.

Пусть «» обозначает номер чрф среди всех чрф арности . Определение этих номеров распадается на три случая: , и .

:

«»,

«»«»«