Программы и отчёты к математическим моделям (Модель эпидемии)

Посмотреть архив целиком

Национальный исследовательский университет

Московский Энергетический Институт (Технический Университет)

Институт автоматики и вычислительной техники

Кафедра Прикладной математики





Практическая работа

по дисциплине:

Непрерывные математические модели

тема: «Модель эпидемии»





Выполнил:

Бочаров Иван Андреевич

Проверил:

д. ф.-м. н., проф. Ижуткин Виктор Сергеевич













Москва

2013 г.

Оглавление

Введение 3

Математическая модель 6

Постановка задачи 6

SIR-модель эпидемии 6

Детали реализации 8

Выводы 12

Заключение 12

Список использованной литературы 13





Введение

Степень разработанности математических методов в научной дисциплине служит объективной характеристикой глубины знаний об изучаемом предмете. Явления в физики и химии описываются математическими моделями достаточно полно, в результате эти науки достигли высокой степени теоретических обобщений.

Начало применению математических методов при изучении эпидемий было положено Даниилом Бернулли в середине XVII века (Bernoulli, 1760). Он впервые применил простейший математический аппарат для оценки эффективности профилактических прививок против натуральной оспы. Вслед за этим последовал значительный перерыв, который завершился работами английского ученого Уильяма Фара. Он изучал и моделировал статистические показатели смертности населения Англии (Уэльса) от эпидемии натуральной оспы в 1837-1839 гг. Этот ученый впервые получил математические модели показателей «движения» эпидемии натуральной оспы в виде статистических закономерностей, что позволило ему в итоге составить прогностическую модель этой эпидемии.

В начале XX века статистический подход У.Фарра в изучении эпидемий был переосмыслен и затем развит в работах Джона Браунли, в которых он анализировал статистические закономерности «движения» эпидемиологических показателей с помощью малоизвестных методов математической статистики. Однако этот статистический подход в изучении закономерностей развития эпидемий существенно отличается от аналитического подхода, который был предложен в конце XIX века сначала в России, а затем в Англии. Благодаря этим исследователям, в начале XX века были сформулированы основы современной теории математического моделирования эпидемий, разработаны первые прогностические модели эпидемий (корь, ветрянка, малярия и др.), изучены их основные свойства, получены аналитические формулы для прогнозирования эпидемий.

В 20-е годы XX века аналитический подход получил дальнейшее развитие среди ученых Великобритании. Теоретические работы этих ученых и сегодня широко цитируются и используются учеными Запада в анализе и прогнозе эпидемий (вспышек) актуальных инфекций (грипп и ОРВИ; холера и ОКИ; парентеральные гепатиты В и С; ВИЧ/СПИД, сифилис и гонорея и ряд других инфекций). Именно к этому периоду времени относится рассматриваемая в данной работе SIR-модель распространения эпидемий.

С появлением в середине 50-х годов XX века первых электронно-вычислительных машин (ЭВМ) стал оформляться следующий этап в развитии моделей, когда число научных работ и публикаций по математическому и компьютерному моделированию эпидемий стало быстро увеличиваться.

В работах того времени стали появляться все более сложные математические модели, в которых существенную роль играли случайные факторы эпидемического процесса, поэтому большинство моделей этого периода имели стохастический (вероятностный) характер, а рабочим аппаратом была теория вероятностей и случайных процессов. Этот этап в развитии моделирования был связан с «натиском» на эпидемиологию «чистых» математиков, которым удалось создать множество абстрактных моделей, но с весьма ограниченным эпидемиологическим содержанием.

Следующий этап в развитии моделирования, который относится ко второй половине XX века, был связан с быстрым прогрессом в области компьютерных технологий (разработаны мощные компьютеры с новейшими инструментами программирования и моделирования).

В 60-70 годы в странах Запада были разработаны новые типы детерминированных и стохастических моделей эпидемий, ориентированные на изучение закономерностей развития социально-значимых вирусных и бактериальных инфекций (Anderson, May 2004.). Однако, несмотря на высокую сложность таких моделей и изощренность математического аппарата, большинство моделей продолжало иметь абстрактный характер, т.е. они были слабо связаны с постановкой и решением практических задач эпидемиологии. Дело в том, что ведущие научные центры по изучению эпидемий в США и в странах Западной Европы в то время располагались в университетах или в медицинских школах при университетах, которые были достаточно далеки от реальных проблем эпидемиологии, ее реальной практики. В свою очередь, эпидемиологи плохо воспринимали абстрактные математические (детерминированные или стохастические) модели эпидемий и вспышек и не могли их сочетать с практическими потребностями.

Первые исследования, которые наметили пути преодоления указанного разрыва, были выполнены в 60-е годы в СССР акад. О.В.Барояном и проф. Л.А.Рвачевым. Ими была разработана новая методология математического моделирования эпидемий – эпиддинамика. Данная методология основана на методе научной аналогии в отображении эпидемического процесса (процесс «переноса» возбудителя инфекции от больных к здоровым) с процессом «переноса» материи (энергии, импульса и др.) в уравнениях математической физики. Действительно, в ходе развития эпидемии среди населения территории, пораженной инфекционным заболеванием, формируется сложный самоподдерживающийся процесс «переноса» популяции возбудителя на сообщество восприимчивых людей. Эпидемиологическое содержание данного процесса связано с адекватным его отображением, как в календарном времени «t», так и во «внутреннем времени «τ», которое фиксирует развитие инфекционного заболевания у множества лиц, пораженных инфекцией. Система уравнений, которая описывает развитие эпидемического процесса, представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями, весьма «схожими» с уравнениями гидродинамики.

Перейдем к практической части работы – рассмотрению и реализации математической модели эпидемии.



Математическая модель

Начнем данный раздел с постановки задачи.

Постановка задачи

Рассмотреть одну из математических моделей эпидемии и реализовать ее на одном из языков программирования. Реализация помимо непосредственно модели должна содержать обучающую часть (пример и задача), краткую справку о модели и пример моделирования реальной ситуации.

Перейдем к решению поставленной задачи.

SIR-модель эпидемии

Для того чтобы успешно решать задачу математического моделирования эпидемического процесса, в любом случае, необходимо сформулировать ряд ограничений и предположений, в рамках которых будет работать модель. К подобным предположениям, к примеру, относятся предположения о характере заболевания, о структуре рассматриваемой популяции и некоторые другие. Так, для многих детских заболеваний, после перенесения которых вырабатывается стойкий (а, возможно, и пожизненный) иммунитет, представляется логичным разделить рассматриваемую группу людей на 3 класса:

  • те, кто восприимчивы к заболеванию

  • те, кто болеет в данный момент

  • те, кто переболел и приобрел иммунитет к заболеванию

Существуют общепринятые обозначения для упомянутых выше групп. Первая группа обозначается латинской буквой S (от англ. succeptible – восприимчивые), вторая – I (от англ. ill – больные), а третья – R (от англ. recovered – выздоровевшие). Именно по этой причине модель и получила название SIR-модель. Впервые эта модель была упомянута в трудах [1] британских ученых Kermack W.O. и McKendrick A.G., опубликованных в 1927. До сих пор она не утратила актуальности и часто применяется даже в современных исследованиях.

Данная модель хорошо подходит для моделирования эпидемий многих инфекционных заболеваний, включая ветрянку, корь, краснуху и многие другие. Вспышки подобных заболеваний обычно имеют циклическую природу, так как со временем число восприимчивых к заболеванию людей падает, и, до тех пор, пока класс восприимчивых не восполнится за счет новорожденных или приезжих, болезнь распространяться не может. В классической SIR-модели, рассматриваемой в данной работе, популяционная динамика не принимается во внимание. Мы предполагаем, что численность населения на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени является постоянной.

Данной модели соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

Данная модель, как нетрудно заметить, зависит от двух параметров: параметр называется частотой контактов и, грубо говоря, отвечает за возможность передачи болезни при контакте между зараженным и восприимчивым индивидами. Второй параметр – – отвечает за переход объекта из класса больных в класс выздоровевших. Иными словами, – это частота выздоровлений.

К сожалению, данная система нелинейна и не имеет общего аналитического решения. Впрочем, это не мешает при решении практических задач применять широко известные численные методы решения систем ОДУ. В данной работе используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Возможно, более наглядной является следующая диаграмма, иллюстрирующая переходы между состояниями:


Случайные файлы

Файл
59385.rtf
28246-1.rtf
75746-1.rtf
166793.doc
15294.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.