Лабораторная работа №3 (Лабораторная работа №3)

Посмотреть архив целиком

3.Игры с природой

Лабораторная работа № 3

Тема: Игры с природой

Цель работы: Ознакомиться с критериями принятия решений в условиях риска и неопределенности.

В игре с “природой” возможны две ситуации в зависимости от информированности оперирующей стороны:

  1. принятие решение в условиях риска. Эта ситуация возникает, когда состояние (стратегия) “природы” - случайная величина с известным распределением;

  2. принятие решения при наличии неопределенности. Известно лишь множество состояний “природы”, но нет информации о вероятностях, с которыми “природа” принимает эти состояния.

Данные, необходимые для принятия решений, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям оперирующей стороны, а столбцы - возможным состояниям “природы”. Каждому действию и каждому возможному состоянию соответствует результат (исход), определяющий выигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данного состояния. Обозначим ai (i=1,2,...m) - стратегии оперирующей стороны, j (j=1,2,...,n) - возможное состояние “природы”, Pj (j=1,2,...,n) - вероятности состояний природы j, (ai,j) - исход операции.



Критерии принятия решения в условиях риска

  1. Критерий ожидаемого значения. (Случайные величины заменяются на их математическое ожидание и решение принимается как в условиях определенности.) Среднее значение выигрыша (потери) для i-й стратегии игрока - определяется как . В качестве оптимальной стратегии естественно выбрать ту из стратегий a*=ai, для которой величина максимальна (минимальна), если (ai,j) -выигрыши (потери). Принятое решение является оптимальным в среднем, т.е. этот критерий оправдан, если решение принимается достаточно большое число раз.

  2. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия”. Критерий ожидаемого значения основан на определении среднего, однако среднее не всегда адекватно отражает реальность, т.к. не учитывается разброс значений. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия” устраняет этот недостаток.

  3. Критерий наиболее вероятного исхода. (Случайная величина заменяется значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.)

Пример1. Задача о замене оборудования.

Установленное на предприятии оборудование после нескольких лет работы может оказаться в одном из трех состояний:

1 - оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта;

2 - некоторые детали значительно износились и требуют серьезного ремонта или замены;

3 - основные детали износились настолько, что дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна.

Прошлый опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20% случаев оно может находиться в состоянии 1, в 50% - в состоянии 2 и .в 30% случаев состоянии 3.

Для предприятия возможны три различных способа действия:

a1 -оставить оборудование в работе еще на год, проведя незначительный ремонт;

a2 - провести капитальный ремонт оборудования;

a3 - заменить оборудование новым.

Потери, которые несет предприятие при различных способах действия, приведены в таблице:

Стратегии

предприятия

Состояния природы

1

2

3

a1

1

5

7

a2

3

2

6

a3

5

4

3

Вероятности состояний природы

0,2

0,5

0,3

Решение: Решим задачу с помощью критерия ожидаемого значения. Определим средние потери предприятия при применении стратегий a1, a2, a3:

=10,2+50,5+70,3=4,8,



(*)

=30,2+20,5+60,3=3,4,

=50,2+40,5+30,3=3,9,


Оптимальной по критерию ожидаемого значения является стратегия a2.

Критерии принятия решения при наличии неопределенности

1)Критерий Лапласа.

Поскольку вероятности состояний 1,2,...,n неизвестны, то можно предположить, что они одинаковы. Тогда исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие ai, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Другими словами, находится ai, т.ч., где - вероятность реализации состояния j (j=1,2,...,n).

Пример 2. Рассматривается игра с природой 33 с тремя стратегиями игрока a1, a2, a3 и состояниями природы 1, 2, 3. Матрица выигрышей дана таблицей:


1

2

3

a1

4

9

7

a2

7

10

4

a3

7

6

9

Решение: Принцип Лапласа предполагает, что 1, 2 и 3 равновероятны. Следовательно, P(j)=, j=1,2,3 и ожидаемые выигрыши при различных стратегиях равны:

E{a1}=(4+9+7)=; E{a2}=(7+10+4)=; E{a3}=(7+6+9)=. Естественно, лучшей считать стратегию, дающую больший выигрыш. Таким образом, наилучшей стратегией в соответствии с критерием Лапласа будет a3.

2)Критерий Сэвиджа.

Критерий основан на построении матрицы сожалений:

r(ai,j) - есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением (ai,j) при том же j. По существу, r(ai,j) выражает “сожаление” лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшую стратегию относительно состояния j. В матрице сожалений по принципу гарантированного результата можно найти стратегию, которая обеспечит минимальное “сожаление” при любом исходе.

Пример 3. Рассмотрим задачу из примера 2. Матрица сожалений имеет вид:


1

2

3

a1

3

1

2

3

a2

0

0

5

5

a3

0

4

0

4

По принципу гарантированного результата: Таким образом, по критерию Сэвиджа оптимальной будет стратегия a1.

3)Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица позволяет выбирать стратегии в зависимости от склонности к риску.

Если (ai,j) - выигрыш, то выбирается стратегия a*, т.е.

В том случае, когда (ai,j) затраты, критерий выбирает стратегию a*, т.е.

Параметр  определяется как показатель риска: при =0 -критерий наилучшего гарантированного результата (нулевой риск), при =1 - ставка на максимальный выигрыш (максимальный риск).

Пример 4. Рассмотрим пример 2. Положим =.

Решение: Результаты вычислений приведены в таблице:


a1

4

9

13/2

a2

4

10

14/2

a3

6

9

15/2

Таким образом, по критерию Гурвица с = оптимальной является стратегия a3.


Задание к лабораторной работе № 3

Построить математическую модель следующих задач в форме матричной игры. Пользуясь указанными критериями найти решения этих задач (задачи приводятся с двумя вариантами числовых данных).

1. В производственном процессе партии товаров, имеющие 8, 10, 12 и 14% брака, выпускаются с вероятностями 0.4(0.3), 0.3(0.4), 0.25(0.2) и 0.05(0.1) соответственно. Производитель связан контрактами с тремя потребителями. В контрактах оговорено, что процент брака в партиях, направляемых потребителям А, В и С, не должен превышать 8, 12 и 14% соответственно. Если процент брака превышает обусловленный, то штраф составляет 100 долл.(120 долл.) за один процент превышения. С другой стороны, производство партий более высокого качества, чем требуется, приводит к увеличению затрат производителя на 50 долл. (45 долл.) за один процент. а)Определить, кто из потребителей будет иметь наибольший приоритет в выполнении заказа, если партия не проверяется до отправки.

б)Решить задачу а) при условии, что не известны вероятности выпуска брака. (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

2. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей:



100

150

200

250

300

p()

0.20(0.15)

0.25(0.2)

0.3(0.35)

0.15(0.1)

0.1(0.2)

Если булочка не продана в тот же день, она может быть реализована за 15(12) центов к концу дня. С другой стороны, свежие булочки продаются по 49(40) центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку составляют 25(22) центов.

а) Определите, какое оптимальное число булочек необходимо заказывать ежедневно, если предположить, что величина заказа может принимать одно из возможных значений спроса.

б) Решить задачу а) при условии, что не известно распределение вероятности ежедневного спроса на булочки (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

3. Для отопления помещения необходимо приобрести топливо. Однако, расход топлива и цены на него зависят от погоды в зимнее время:

погода

мягкая

нормальная

суровая

расход, т

6(4)

10(11)

12(13)

цена усл.ед./т

10

16

20

В настоящее время уголь может быть приобретен по минимальной цене 10(15) усл.ед/т и излишек неиспользованного угля можно реализовать весной по цене 5(7) усл.ед/т.

а) Определить оптимальную стратегию в образовании запасов, если известно, что вероятность теплой и холодной зимы практически одинакова, а нормальная зима бывает в 2 раза чаще.

б) Решить задачу а) при условии, что ничего не известно о предстоящей зиме. (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

4. Швейная фабрика по плану должна израсходовать в апреле 35 тыс. Денежных единиц на пошив мужских брюк и костюмов, причем брюки ей обходятся по 10 (12) денежных единиц, а костюм по 25(28). Реализация продукции происходит в мае по следующим ценам: брюки - 20(22), костюм - 45(46). По статистическим данным в мае в прохладную погоду можно продать 500 брюк и 1200 костюмов, в теплую погоду - 2000 брюк и 600 костюмов. Как показала практика, товар, не реализованный в течении месяца, долго лежит на складах и дохода не приносит.

а) Требуется изготовить такое количество товаров, которое максимизирует средний доход фабрики, если по прогнозам погода будет прохладной с вероятностью 0.6(0.7) и 0.4(0.3) - теплой.

б) Решить а), если нет никакой информации о вероятностях состояния природы (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

5. Сельскохозяйственное предприятие может посеять одну из 4-х культур A1, A2, A3, A4. Урожайность культур в центнерах в зависимости от погоды и цена одного центнера каждой культуры дана в таблице.

Погода

Урожайность в центнерах


A1

A2

A3

A4

сухая

20(18)

7.5(8)

0(2)

3(2.5)

нормальная

5(7)

12.5(14)

7.5(7)

1(1.5)

дождливая

15(12)

5(6)

10(9)

6(5)


цена за центнер


2


4


8


5

Определить какую из культур необходимо посеять для получения максимального дохода, если

а) известны вероятности состояний природы:

Погода

Вероятность

сухая

0.3(0.2)

нормальная

0.4(0.3)

дождливая

0.3(0.5)

б) ничего не известно о вероятностях состояний природы (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

6. На базе организации имеется 3 типа товаров. В магазин должен быть завезен товар одного из типа. Если товар пользуется спросом, то магазин от его продажи получает прибыль, в противном случае несет убытки от его хранения (см. таблицу).


Тип товара


1

2

3

Доход от реализации

8(6)

7(9)

9(7)

Убыток при хранении

1(1)

2(3)

3(2)

Известно, что в период продажи спросом будет пользоваться один из трех товаров.

Определить тип товара, который целесообразно завести в магазин, если
а) известно распределение вероятностей спроса:

Тип товара

1

2

3

Вероятность спроса

0.25(0.2)

0.4(0.35)

0.35(0.45)

б) распределение вероятностей спроса неизвестно (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

7. Один из 4-х станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать значения: 200(250), 500(450) или 700(600) штук. Производственные затраты Ci для станка i задаются формулой Ci= Ki+ciQ. Числовые данные для всех станков приведены в таблице:

Станок i

Ki

ci

1

100(110)

5(6)

2

40(50)

12(10)

3

150(120)

3(4)

4

90(80)

8(12)

Необходимо решить задачу выбора станка с целью минимизации затрат, если:

а) известно распределение вероятности размера партии изделий:

Размер партии

200(250)

500(450)

700(600)

Вероятность

0.2(0.25)

0.35(0.4)

0.45(0.35)

б) распределение вероятности размера партии изделий неизвестно (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

8. Директору одного универмага нужно принять решение о том, какого вида рекламное объявление целесообразно поместить в местной газете. В частности, он может выбрать краткую рекламу или подробную. Еженедельные объемы продаж директор разделяет на 3 группы: средний (А), выше среднего (В) и ниже среднего (С), считая, что объем продаж рассматриваемой недели зависит как от объема продаж предыдущей недели, так и от категории рекламы. Данные о вероятностях объема продаж текущей недели представлены в таблице:

Объем продаж предыду-

Вероятность объема продаж текущей недели

щей недели

краткая реклама

подробная реклама


В

А

С

В

А

С

В

0.2

(0.15)

0.5

(0.45)

0.3

(0.4)

0.6

(0.55)

0.3

(0.25)

0,1

(0.2)

А

0(0)

0.6(0.55)

0.4(0.45)

0.4(0.35)

0.5(0.5)

0.1(0.15)

С

0(0)

0.3(0.35)

0.7(0.65)

0.2(0.25)

0.7(0.7)

0.1(0.05)

Так, например, если объем продаж предыдущей недели относится к группе А, а используется подробная реклама, то с вероятностью 0.4(0.35) объем продаж текущей недели относится к группе В, с вероятностью 0.5(0.5) - к группе А и с вероятностью 0.1(0.15) - к группе С. Краткая реклама стоит 100(120) долл., а подробная 300(350) долл. и недельная прибыль (без учета затрат на рекламу) при объеме продаж В составит 12(12.5) тыс. долл., при объеме А - 10(9.5) тыс. долл. и при объеме С - 8(7.5) тыс. долл.

а) Определить оптимальные стратегии рекламы в зависимости от объема продаж предыдущей недели, максимизирующие чистую еженедельную прибыль.

б) Определить оптимальные стратегии рекламы, если не известно, какая реклама давалась в предыдущую неделю и, соответственно, не известны вероятности объема продаж текущей недели (использовать критерий Гурвица при =).

9. Завод приобрел станок стоимостью 100(120) единиц. Для организации ремонта можно приобрести специализированное оборудование стоимостью 50(55) единиц или же обойтись имеющимся ремонтным оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью специализированного оборудования обходится в 10(9) единиц. Ремонт без специализированного оборудования обходится в 40(45) единиц. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более 3-х раз. Определить целесообразность приобретения специализированного оборудования, если

а) известно: вероятность того, что станок не выйдет из строя, равна 0,3; выйдет из строя один раз - 0,4; два раза - 0,2; три раза - 0,1.

б) нет информации о вероятностях выхода станка из строя (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

10. Выпуск продукции завода зависит от двух видов деталей, производство которых в местных условиях не представляется возможным. Завод заключил контракты с двумя поставщиками, однако нет гарантии своевременной поставки. Если поставка первого вида детали не прибывает в срок, завод несет убыток в 600(700) усл.ед., второго вида - 500(650) усл.ед. Завод имеет возможность отправить транспорт к одному из поставщиков, в этом случае доставка деталей гарантирована. Расходы поездки составляют 30(60) усл.ед. - к первому поставщику, 50(55) усл.ед. - ко второму. Определить оптимальную стратегию руководства завода, если

а) известны вероятности своевременной доставки: первым поставщиком - 0.8(0.7), вторым - 0.7(0.8) (считаем, что доставка деталей двумя поставщиками - события независимые )

б) не известны вероятности своевременной поставки (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

11. Принимается решение о вложение средств (10 тыс. долл.) в одну из отраслей: облигации правительственного займа, военную промышленность или торговлю. Возможны следующие ситуации:

  1. изменение курса в сторону смягчения налоговой политики правительства;

  1. изменение курса в сторону ужесточения налоговой политики правительства;

  2. смена правительства.

Ожидаемый доход от облигаций составляет 10%(10.5%) и не зависит от налоговой политики, однако при смене правительства все его обязательства теряют силу. Доход от вложений в военную промышленность составит 8%(8.5%), не зависит от налоговой политики, но при смене правительства ожидаемый доход увеличивается в 2(1.5) раза. Доход от вложений в торговлю при различных ситуациях составит:

  1. смягчение налоговой политики правительства - 12%(11.5%);

  2. ужесточение налоговой политики правительства - 8%(7.5%):

  3. смена правительства - 6%(5.5%).

Определить отрасль вложения средств, если

а)известны вероятности возникновения ситуаций: a)(), b)(), c)().

б) вероятности возникновения ситуаций не известны (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при =).

12. Химический комбинат может производить два вида продукции. В начале каждого месяца принимается решение о том, какой вид продукции производить в данном месяце. Принимаемое решение целиком определяется спросом. Спрос имеет случайный характер, причем если в текущем месяце изготовляется продукт вида 1, то в следующем месяце с вероятностью 0.2(0.3) окажется необходимым продолжать изготовление этого продукта и с вероятностью 0.8(0.7) - переключаться на изготовление продукта вида 2. Если же в текущем месяце выпускается продукт вида 2, то в следующем месяце с вероятностью 0.6(0.8) придется продолжать выпуск этого продукта и с вероятностью 0.4(0.2) - переключаться на выпуск продукта вида 1. Для борьбы с загрязнением окружающей среды используют один из трех процессов очистки. Уровень загрязнения при производстве продуктов и использовании процессов очистки представлен в таблице:


процесс 1

процесс 2

процесс 3

продукт вида 1

80(60)

30(20)

20(30)

продукт вида 2

20(10)

25(40)

50(20)

Для подготовки к началу каждого из процессов очистки необходимо достаточно длительное время, поэтому вопрос о том, какой процесс очистки будет использоваться в данном месяце, приходится решать в начале предыдущего месяца.

а) Определить, какой процесс необходимо использовать в зависимости от вида продукта в текущем месяце.

б) Решить а) при неизвестном распределении вероятностей спроса. (использовать критерий Севиджа и Гурвица при =).

4




Случайные файлы

Файл
Dv. byhg. (1).doc
180695.rtf
REFERAT.DOC
39256.rtf
69396.rtf