Лабораторная работа №1 (Лабораторная работа №1)

Посмотреть архив целиком

1.Основы моделирования.



Лабораторная работа № 1

Тема: Основы моделирования

Цель работы: Научиться строить математические модели простейших задач исследования операций.

Проблемы управления и принятия решений занимают всё более широкое место в научных исследованиях. Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые принято объединять под общим названием “Исследование операций”. Под исследованием операций понимается применение математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Основным этапом решения задачи исследования операций является построение математической модели.

Математическая модель - некоторое приближённое отображение действительности, описываемое с помощью того или иного математического аппарата. Модель должна строиться таким образом, чтобы отражать сущность проблемы. В то же время модель должна быть достаточно свободной от несущественных деталей, так как их учёт осложняет математический анализ и делает результаты исследований трудно обозримыми.

Введем следующие определения.

Операция - совокупность действий, направленных на достижение определённой цели. Участников операции, стремящихся к достижению этой цели, называют оперирующей стороной.

Все факторы, от которых зависит исход операции, можно разделить на две группы:

  1. Факторы, которыми распоряжается оперирующая сторона для достижения цели операции называются контролируемыми. Обозначим их x1,x2,...,xn, а совокупность всех значений контролируемых факторов - M.

  2. Факторы операции, которыми оперирующая сторона не распоряжается, называются неконтролируемыми.

В зависимости от наличия информации неконтролируемые факторы делятся на:

  1. Неопределённые факторы y - известно лишь множество значений N факторов y.

  2. Случайные факторы z - известно множество значений Z и закон распределения случайной величины z.

Стремление оперирующей стороны к достижению цели формализуется введением целевой функции F(x,y,z) называемой критерием эффективности.

Формально задача исследования операций выглядит следующим образом:

max(F(x,y,z)), где xM, yN, zZ.

Определение всех факторов x, y, z и построение критерия эффективности F(x,y,z) являются наиболее важными этапами построения математической модели.


Классификация моделей

Модели, используемые в исследовании операций можно условно разделить на:

  1. Аналитические. Применяются в случае, когда возможно явное, формульное описание критериев эффективности и ограничений, накладываемых на решение задачи. Примеры таких моделей: формулы физических законов, программы обработки деталей, движение тел и т.п.

  2. Статистические. Используются при наличии случайного неконтролируемого фактора. Решаются такие задачи путём моделирования случайных величин и оценки результатов методами математической статистики. Примерами использования таких методов могут служить системы массового обслуживания, задачи в сфере управления запасами, экономическое планирование и т.п.

  3. Эвристические. Модели, используемые для получения решений с помощью неформальных правил (основанные на опыте, интуиции и т. п.). Сфера применения - задачи, имеющие нечисловую природу, отличающиеся неопределённостью каких-либо параметров, большой размерностью.

Рассмотрим задачу на построение аналитической модели:

Пример. Предприятие, специализирующееся на производстве замороженных пищевых полуфабрикатов, выпускает три различных продукта:

продукт 1 - картофельные дольки;

продукт 2 - картофельные кубики;

продукт 3 - картофельные хлопья.

В начале технологического процесса необработанный картофель сортируется по размеру и качеству, после чего его распределяют по различным поточным линиям. Предприятие может закупать картофель у двух различных поставщиков. При этом объёмы продуктов 1, 2 и 3, которые можно получить из 1 т. картофеля первого поставщика, отличаются от объёмов продуктов 1, 2, 3 получаемых из того же количества картофеля второго поставщика.

Соответствующие показатели приведены в таблице:

Выход из 1 т картофеля

Ограничения на объём

Продукт

Поставщик N 1

Поставщик N 2

выпускаемой продукции

1

0,2

0,3

1,8 т

2

0,2

0,1

1,2 т

3

0,2 т.

0,3 т.

2,4 т.

Относительная прибыль

5 усл. ед.

6 усл. Ед.


Какое количество картофеля следует купить у каждого из поставщиков?


Решение: Построим для данной задачи аналитическую модель.

Ответ на поставленный вопрос зависит от “относительной прибыли”, получаемой предприятием в случае покупки картофеля у поставщика 1 и у поставщика 2. Предприятие заинтересовано приобрести картофель так, чтобы при заданных условиях его прибыль была максимальной.

Из того факта, что относительная прибыль при закупке картофеля у поставщика 2 является более высокой, ещё не следует, что предприятию следует приобрести закупку всего требуемого картофеля у поставщика 2. При принятии решения по закупке картофеля должны учитываться, по крайней мере, два фактора:

  1. максимальное количество каждого продукта, которое предприятие может продать;

  2. максимальное количество каждого из продуктов, которое предприятие может изготовить при заданных условиях производства.

Учитывая оба эти фактора одновременно, мы получаем следующие ограничения:

  1. продукт 1 не может выпускаться в количестве, превышающем 1,8;

  2. продукт 2 не может выпускаться в количестве, превышающем 1,2;

  3. продукт 3 не может выпускаться в количестве, превышающем 2,4;

Эти ограничения математически можно сформулировать следующим образом. Пусть x1 и x2 означают количество картофеля, которое будет закуплено у поставщиков 1 и 2 соответственно.

Тогда ограничения a), b), c) преобразуют в линейные неравенства

0,2x1 + 0,3x2  1,8 для продукта 1.

0,2x1 + 0,1x2  1,2 для продукта 2. (1)

0,3x1 + 0,3x2  2,4 для продукта 3.

x1  0 x2  0

Условия неотрицательности x10, x20 приняты потому, что отрицательные значения этих величин не имели бы физического смысла. Оптимальными являются такие x1 и x2, при которых относительная прибыль максимальна, если при этом выполняются условия (1). Таким образом, получаем следующую аналитическую модель задачи:

найти max (5x1 + 6x2) при наличии ограничений

0,2x1 + 0,3x2  1,8

0,2x1 + 0,1x2  1,2

0,3x1 + 0,3x2  2,4

x1  0 x2  0

Здесь (5x1 + 6x2) - целевая функция, представляющая собой прибыль предприятия.


Задание к лабораторной работе № 1

Построить математическую модель задачи, для этого:

  1. выбрать показатель эффективности;

  2. ввести переменные x1,x2,..., определяющие решение задачи;

  3. записать систему ограничений;

  4. записать целевую функцию.

1.Посевные пощади трёх колхозов, отводимые под свёклу и пшеницу, равны соответственно 300, 400 и 500 га. Согласно плану свёкла и пшеница должны производится в пропорции 1 : 2. Ожидаемый урожай свёклы 350, 400 и 300 ц/га, пшеницы 20, 25, 30 ц/га. Какую часть посевных площадей должен отвести каждый колхоз под пшеницу и свёклу, чтобы обеспечить максимальный суммарный урожай пшеницы и свёклы в натуральном выражении.

2.Для изготовления четырёх видов продукции (А, Б, В, Г) используется три вида сырья (1, 2, 3). Ресурсы сырья, нормы его расхода на единицу продукции и получаемая прибыль от единицы продукции заданы в следующей таблице:


Нормы расхода


Сырье

А

Б

В

Г

Ресурсы

1

2

1

0,5

4

2400

2

1

5

3

0

1200

3

3

0

6

1

3000

Прибыль

7,5

3

6

12


Определить оптимальный план выпуска продукции из условия максимизации прибыли.

3.Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимым для производства любого из четырёх видов товаров. Затраты ресурсов на единицу данного вида товара и прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:


Затраты ресурсов на товар


Вид ресурса

1

2

3

4

Объем ресурсов

Сырьё (кг)

3

5

2

4

60

Рабочая сила

22

14

18

30

400

Оборудование

10

14

8

16

128

Прибыль на единицу товара (руб.)

30

25

56

48


Определить оптимальный ассортимент товаров, если 1-го товара нужно выпустить не более 5 ед., 2-го не менее 8 ед., а 3-го и 4-го - в отношении 1:2.













4.Выпускаемое изделие состоит из 2-х деталей, обработка которых может быть выполнена на различных станках: фрезерных, револьверных и автоматических револьверных. Количество станков, их производительность по каждой детали в отдельности представлены в таблице:


Тип станков


Число станков

Производительность станка (дет./час)



Деталь N 1

Деталь N 2

Фрезерный

3

10

20

Револьверный

3

20

30

Авт. Револьверный

1

30

80

Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы получать в час максимальное число изделий.

5.Авиакомпания “Небесный грузовик”, обслуживающая периферийные районы, располагает 8 самолётами типа 1, 15 самолётами типа 2, 12 самолётами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъёмность (в тоннах) известна: 230 для самолётов типа 1; 166 для самолётов типа 2; 84 для самолётов типа 3. Авиакомпания обслуживает города А и В. Городу А требуется тоннаж в 2000 т, а городу В - в 3000 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолёт в течение дня может выполнить только один рейс. Расходы, связанные с перелётом самолётов по маршруту “центральный аэродром - пункт назначения”, указаны в следующей таблице:


Тип 1

Тип 2

Тип 3

Город А

23

5

1,4

Город В

58

10

3,8

Построить модель для определения распределения самолетов различного типа по маршрутам, обеспечивающее минимальные расходы.

6.Фирма выпускает 4 вида продукции. В процессе производства используются 3 технологические операции. В таблице представлена технологическая схема производства изделий вида 1, 2, 3 и 4 (длительность операций при изготовлении одного изделия каждого вида в минутах).

Вид продукции

Операция 1

Операция 2

Операция 3

1

5

1

2

3

1

2

3

4

3

4

3

2

4

Фонд рабочего времени, в течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделий, ограничен следующими предельными значениями (в сутки):

Операция 1

380 мин.

Операция 2

420 мин.

Операция 3

400 мин.

Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2, 3, 4 составляет 3, 4, 5, 7 долл. соответственно. Определить наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида.

7.Кормовой рацион цыплят должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Рассмотрим в качестве корма смесь, состоящую из 3-х ингредиентов: известняк, зерно и соевые бобы. Данные, характеризующие содержание питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента, приведены в таблице:

Ингредиент

Содержание питательных веществ (в %)

Стоимость


кальций

белок

Клетчатка

(за кг)

Известняк

0,38

0,04

Зерно

0,001

0,09

0,02

0,15

Соевые бобы

0,002

0,50

0,08

0,40

Смесь должна содержать: 1)не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция;

2)не менее 22% белка; 3)не более 5% клетчатки.

Определить оптимальное содержание ингредиентов в смеси, общей массой 20кг.

8.Полицейская служба имеет следующие минимальные потребности в количестве полицейских в различное время суток:

Период

Время суток, часы

Число полицейских

1

2-6

20

2

6-10

50

3

10-14

80

4

14-18

100

5

18-22

40

6

22-2

30

Каждый полицейский работает восемь часов без перерыва. Полицейской службе необходимо составить служебное расписание на каждые сутки таким образом, чтобы обойтись минимальным числом полицейских.

(Обозначить через xt число полицейских, ежедневно приступающих к работе в период t).

9.Фирма выпускает шляпы трех фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2 и в полтора раза ниже трудоемкости изготовления шляпы фасона 3. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп всех фасонов ограничен диапазоном от 150 до 200 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна 8 долл., фасона 2 - 5 долл., фасона 3 - 4 долл. Какое количество шляп каждого фасона следует изготовлять, чтобы максимизировать прибыль?





10.Ткацкая фабрика располагает станками трех типов, которые могут производить четыре вида тканей. Каждый тип станка может производить любой из видов тканей, но в неодинаковом количестве. Данные представлены в таблице:

Тип станка

Количество станков

Производство тканей вида (в метрах)



1

2

3

4

1

100

100

70

86

64

2

90

92

82

104

76

3

60

120

90

90

80

Продажа тканей приносит доход:

Вид тканей

Доход

1

30

2

35

3

28

4

36

При этом необходимо произвести тканей каждого вида не менее:

Вид тканей

не менее

(в метрах)

1

800

2

600

3

900

4

400

Построить математическую модель для решения задачи обеспечения максимальной прибыли производства тканей.

11.Фирма “Лесная пилорама” столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов пиломатериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. Материалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры. Чтобы получить 2,5 м3 пиломатериалов необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м2 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок необходимо произвести, по крайней мере, 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составит 16 долл., а со 100 м2 фанеры - 60 долл. Построить модель для решения задачи.

12.Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000 долл. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 долл., а каждая минута телерекламы - в 100 долл. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в 2 раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Построить модель для определения оптимального распределения финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой.

13.Торговая фирма имеет 4 склада для хранения и 5 пунктов реализации товаров. На складах имеются запасы товара в количествах:

Склад

1

2

3

4

Количество товара (единиц)

200

340

280

300

Пункты реализации подали заявки соответственно на 130, 450, 210, 100, 350 единиц товара. Склады связаны с пунктами реализации сетью дорог. Заданы тарифы на перевозки:




Пункт 1

Пункт 2

Пункт 3

Пункт 4

Пункт 5

Склад 1

12

14

10

11

15

Склад 2

23

2

13

14

8

Склад 3

21

10

15

7

13

Склад 4

18

13

17

20

15

Требуется построить модель для составления оптимального плана перевозок.

14.В колхозе имеется несколько земельных участков, качественно отличающихся друг от друга. Хозяйство возделывает несколько видов культур. Необходимо определить, какую площадь каждого участка следует отвести под каждую культуру, чтобы получить запланированные объемы продукции при минимальных затратах. Данные представлены в таблице:

Земля

Площадь (га)

Культуры

Урожайность (ц/га)

Трудоемкость (дн/га)



пшеница

30

9

Лучшая

100

рожь

25

7



овес

28

6

Обыкновен-


пшеница

20

10

ная

200

рожь

20

7



овес

26

7



пшеница

15

10

Худшая

600

рожь

25

8



овес

25

7

Плановые задания:

пшеница

5000 ц

рожь

3500 ц

овес

5000 ц

15.Фирма, торгующая различного рода химическими продуктами, планирует изготовление смесей трех видов, каждая из которых состоит не более чем из четырех компонентов: А, В, С и D.

Количественный состав продуктов (в %):

Продукт

А

В

С

D

1

12

34

32

22

2

45

23

32

3

76

24

Объем химических компонентов, имеющихся в данный момент у фирмы:

Компонент

Объем

А

190

В

320

С

450

D

240

Спрос на химические продукты и их стоимость:

Химический продукт

Минимальные потребности покупателей

Стоимость

1

120

58

2

170

93

3

150

65

Определить оптимальный план производства смесей.

16.Фирме предстоит решить, какое количество чистой стали и металлолома следует использовать для приготовления литья для одного из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1т чистой стали равняется 3 усл.ед., а затраты в расчете на 1т металлолома - 5 усл.ед. Заказ предусматривает поставку не менее 5т литья. Запасы чистой стали, ограничены и не превышают 4т, а запасы металлолома не превышают 6т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7:8. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18ч: при этом на 1т стали уходит 3ч, а на 1т металлолома - 2ч производственного времени. Построить модель для решения поставленной задачи.

17.Фирмой выпускаются телевизоры трех различных моделей: А, В и С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 40, 75 и 125 долл. соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 90 телевизоров модели А, 130 телевизоров модели В и 75 модели С. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Данные затрат времени в расчете на 5 телевизоров определенной модели приведены в таблице:

Модели телевизоров

Изготовление деталей (ч)

Сборка

(ч)

Упаковка

(ч)

Модель А

3

4

1

Модель В

3,5

5

1,5

Модель С

5

8

2

В течение ближайшей недели фирма может израсходовать на производство деталей 150 ч, на сборку 180 ч и на упаковку 50. Построить модель для решения задачи производственного планирования.

18.Необходимо определить оптимальное распределение сырой нефти (различного сорта) по двум возможным технологическим процессам составления смесей. Технологический процесс 1 характеризуется следующими показателями: из одной единицы объема сырой нефти А и трех единиц объема сырой нефти В, получается пять единиц объема бензина X и две единицы объема бензина Y. Технологический процесс 2 характеризуется другими показателями: из четырех единиц объема сырой нефти А и двух единиц объема сырой нефти В получается три единицы бензина X и восемь единиц бензина Y. Максимальное количество запасов сырой нефти А равняется 100 единицам объема, а сырой нефти В - 150 единицам объема. По условиям поставок требуется произвести не менее 200 единиц объема бензина X и 75 единиц объема бензина Y. Доходы с единицы объема продукции, получаемой с помощью технологических процессов 1 и 2, составляют 400 и 500 усл.ед. соответственно.

19.Авиакомпании необходимо решить, какое количество топлива для реактивных самолетов следует закупить у фирм-поставщиков, если число последних равно трем и имеют место следующие требования и ограничения:

1) Заправка самолетов производится регулярно в четырех аэропортах.

2) Нефтяные компании констатируют следующие возможности поставки топлива:

Компания 1

2,5 млн. л

Компания 2

5 млн. л

Компания 3

6 млн. л

3) Авиакомпании требуется следующее количество топлива:

В аэропорту 1

1 млн. л

В аэропорту 2

2 млн. л

В аэропорту 3

3 млн. л

В аэропорту 4

4 млн. л

4) Стоимости 1 л реактивного топлива с учетом расходов, связанных с доставкой, имеют значение:


Компания 1

Компания 2

Компания 2

Аэропорт 1

12

9

10

Аэропорт 2

10

11

14

Аэропорт 3

8

11

13

Аэропорт 4

11

13

9

20.Предприятие электронной промышленности выпускает три модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточные объемы производства и расход элементов электронных схем приведены в таблице:

Модели

Объем производства

Расход элементов

1

68

10

2

45

7

3

56

8

Максимальный суточный запас используемых элементов равен 900 единицам. Прибыли от реализации одного радиоприемника моделей 1, 2 и 3 равны 30, 20 и 40 долл. соответственно. Определить оптимальные суточные объемы производства моделей всех типов.

21.Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и Б, смешивая три ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай. В таблице приведены нормы расхода ингредиентов, объем запасов каждого ингредиента и прибыль от реализации 1т чая сорта А и Б.






Нормы расхода (т/т)


Ингредиенты

А

Б

Объем запасов (т)

Индийский чай

0,5

0,2

600

Грузинский чай

0,2

0,6

870

Краснодарский чай

0,3

0,2

430

Прибыль от реализации 1 т продукции

320

290


Требуется составить план производства чая сорта А и Б с целью максимизации суммарной прибыли.

22.Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача: сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой материал, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в таблице:


Материалы

Характеристики

Металл

Стекло

Пластмасса

Стоимость (усл.ед/м2)

25

20

40

Масса (кг/м2)

10

15

3

Общая поверхность кузова должна составлять 14м2; из них не менее 4м2 и не более 5м2 следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект?

23.Участник экспедиции “Северный полюс” укладывает рюкзак, и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются мясо, мука, сухое молоко и сахар. В рюкзаке для продуктов осталось лишь 45 дм3 объема, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг. Врач экспедиции рекомендовал, чтобы мяса (по массе) было больше муки, по крайней мере, в два раза, муки не меньше молока, а молока, по крайней мере, в восемь раз больше, чем сахара. Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем, чтобы суммарная калорийность была наибольшей? Характеристики продуктов приведены в таблице:


Продукты

Характеристики

Мясо

Мука

Молоко

Сахар

Объем(дм3/кг)

1

1,5

2

1

Калорийность (ккал/кг)

1500

2500

5000

4000

24.На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.

Вид корма

Нормы расхода кормов (кг/день)

Ресурс


Песец

Лиса

Нутрия

Норка

кормов (кг)

I

1

2

1

2

300

II

1

4

2

0

400

II

1

1

3

2

600

Прибыль

6

12

8

10


Каких зверьков и в каком количестве выгоднее выращивать на звероферме?

3