Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики (~2)

Посмотреть архив целиком

І. Загальна теорія рівнянь:

1. Рівняння основні означення, твердження

1) В алгебрі розглядають два види рівностей - тотожності і рівняння. Розглянемо функції y=f(x), визначену на множині M, і y=g(x), визначену на множині N.

Якщо на деякій множині R, яка є підмножиною як М, так і N, має місто рівність

f(x)=g(x),

то говорять, що ці функції тотожно рівні на множині R, а рівність

f(x)=g(x)

при цьому називається тотожністю на множині R.

Часто приходиться розглядати функції, про які невідомо, якою є множина значень аргументу, на якій вони тотожно рівні. В такому випадку рівність

f(x)=g(x)

називають рівнянням. Воно виражає задачу пошуку тих значень х, при яких f(x) і g(x) рівні. Шукані значення х при цьому називають коренями (розв’язками) рівняння. Значення невідомих, які належать множині допустимих значень рівняння і задовольняють його (тобто перетворюють рівняння в правильну рівність (тотожність), називають коренями рівняння. Областю визначення рівняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцій f і g.

Букви, які входять в рівняння, за умовою задачі можуть бути нерівноправними: одні можуть приймати всі свої допустимі значення і називаються коефіцієнтами (інколи параметрами) рівняння; інші, значення яких потрібно знайти, називаються невідомими (їх майже завжди позначають останніми буквами латинського алфавіту: x,y,z, або тими ж буквами, але з індексами: x1,x2,...,xn або y1,y2,...,yk ).

В загальному вигляді рівняння з n невідомими x1,x2,...,xn може бути записано у вигляді

f(x1,x2,...,xn)=g(x1,x2,...,xn), (1)

де f(x1,x2,...,xn),g(x1,x2,...,xn) - функції вказаних змінних. В залежності від кількості невідомих рівняння називають рівнянням з одним, двома і більше невідомими.

Рівняння вважається розв’язаним, якщо знайдено всі його корені або показано, що рівняння коренів немає.

Методи розв’язування рівнянь базуються на понятті рівносильності (еквівалентності).

Якщо всі розв’язки рівняння f(х)=g(x) є розв’язками рівняння j(x)=y(x), то говорять, що рівняння j(x)=y(x) є наслідком рівняння f(х)=g(x), і записують

f(х)=g(x) Þj(x)=y(x).

Два рівняння f(х)=g(x) і j(x)=y(x) називають еквівалентними, якщо кожне з них являється наслідком другого, і записують

f(х)=g(x) Û j(x)=y(x).

Таким чином два рівняння вважаються еквівалентними, якщо множини розв’язків цих рівнянь співпадають.

Рівняння f(х)=g(x) вважають еквівалентним двом (або декільком) рівнянням f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x), якщо множина розв’язків рівняння f(х)=g(x) співпадає з сукупністю множин розв’язків рівнянь f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x).

Можна сказати, що рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком другого.

Деякі еквівалентні рівняння:

1.Рівняння F+G=G еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

2.Рівняння еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

3.Рівняння F´G=0 еквівалентне двом рівнянням F=0 і G=0, кожне з яких розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

4.Рівняння Fn=0 еквівалентне рівнянню F=0.

5.Рівняння Fn=Gn при непарному n еквівалентне рівнянню F=G, а при парному n еквівалентне двом рівнянням: F=G і F=-G.

Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням або заміна рівняння рівносильною йому сукупністю рівнянь називається рівносильним переходом.

Наведемо основні теореми про рівносильність рівнянь.

ТеоремаІ. Рівняння

f(х)=g(x) і f(х)+j(x)=g(x)+j(x)

рівносильні, якщо j(x) існує в області визначення вихідного рівняння (1).

З цієї теореми випливає, що доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданку на протилежний.


Теорема ІІ. Якщо обидві частини рівняння

f(х)=g(x) (1)

помножити на вираз j(x), який існує в області визначення рівняння (1), то отримаємо рівняння

f(х)´j(x)=g(x)´j(x) ( 2),

яке є наслідком рівняння (1).

Якщо при цьому j(x)¹0, то рівняння (1) і (2) рівносильні.

Теорема ІІІ. Рівняння

fn(х)=gn(x), (*)

де n³2 (натуральне), є наслідком рівняння f(х)=g(x).

Це значить, що будь-який корінь рівняння (1) є коренем і рівняння fn(х)=gn(x), але рівняння fn(х)=gn(x), може мати ще й інші корені, які не задовольняють рівняння (1). Іншими словами, при піднесенні до натурального степеня обох частин рівняння (1) можуть з’явитись зайві корені.

Розрізняють рівняння алгебраїчні і трансцендентні. В алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватись, причому в скінченій кількості, тільки операції додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до раціонального степеня.

Якщо над невідомими здійснюються й інші операції, то рівняння називають трансцендентним.

Прикладами трансцендентних рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.

У загальному випадку трансцендентні рівняння не можуть бути розвязанні алгебраїчно, тобто за допомогою послідовного виконання ряду аріфметичних та алгебраїчних дій над данними, які належать до їх складу. Елементарна математика розглядає окремі види трансцендентних рівнянь, допускаючих аналітичне рішення. Зокрема, до них відносяться показникові та логафмичні рівняння.

В процесі розв’язування рівняння за допомогою різних перетворень замінюють простішим, рівносильним йому рівнянням. Якщо це не вдається, то можливі два такі випадки.

  1. Під час переходу до нового рівняння може трапитись втрата коренів.

  2. Нове рівняння може містити корені, що не є коренями вихідного рівняння (зайві корені). Зайві корені можна виявити за допомогою перевірки (підстановкою всіх коренів нового рівняння у вихідне).

Нехай f(x) - числова функція однієї чи декількох змінних (аргументів). Вираз, в якому є знаки ">" (<) або "³" (£), називають нерівністю.

Розв’язати нерівність

f(x)<0 (f(x)>0) (4)

- це значить знайти всі значення аргументу (аргументів) функції f , при яких нерівність (4) справедлива. Множина всіх значень аргументу функції f, при яких нерівність (4) справедлива, називається множиною розв’язків нерівності або просто розв’язком нерівності.

Множина розв’язків нестрогої нерівності

f(x)£0 (f(x)³0) (5)

представляє собою сукупність множини розв’язків нерівності (4) і множини розв’язків рівняння f(x)=0.

Дві нерівності f1(x)<0 (<g1(x)) і f2(x)<0 (<g2(x)) називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

При цьому пишуть

f1(x)<0 (g1(x)) Û f2(x)<0 (g2(x)).

Якщо дві нерівності не мають розв’язків, то за означенням вони також вважаються рівносильними.

Під множиною допустимих значень невідомих, які входять в нерівність, розуміють область визначення функції f(x).

Рівносильні нерівності можуть мати різні області допустимих значень (наприклад, нерівність x>1 рівносильна нерівності >1, при цьому ми бачимо, що ОДЗ нерівності x>1 є множина всіх дійсних чисел, а ОДЗ нерівності >1 - множина невід’ємних чисел).

З означень рівносильних нерівностей випливає, що замість даної нерівності можна розв’язувати нерівність, рівносильну даній.

Дві нерівності називаються рівносильними на множині А, якщо співпадають множини їх розв’язків на цій множині А.

Дві нерівності можуть бути нерівносильними, але можуть бути рівносильними на деякій множині. Прикладом можуть бути нерівності x2>1 і x>1, які рівносильні на множині додатних чисел, але не є рівносильними на множині всіх дійсних чисел.

Якщо будь-який розв’язок однієї нерівності є розв’язком другої нерівності, то говорять, що друга нерівність є наслідком першої нерівності, при цьому записують

f1(x)<0 Þ f2(x)<0.

Якщо замінити нерівність її наслідком, то множина розв’язків другої нерівності буде складатись з множини розв’язків вихідної нерівності і ще може мати деякі числа, які називають зайвими розв’язками вихідної нерівності. Тому якщо під час розв’язування нерівності переходять до її наслідків, то в кінці необхідно провести перевірку.


Твердження про рівносильність нерівностей:

  1. Нерівності f(x)<g(x) і g(x)>f(x) рівносильні.

  2. Нерівності f(x)<g(x) і f(x)-g(x)<0 рівносильні.

  3. Нерівності f(x)<g(x) і f(x)+j(x)<g(x)+j(x) рівносильні, якщо функція j(x) визначена на ОДЗ нерівності f(x)<g(x).

Можна записати, що нерівності

f(x)<g(x) і f(x)+a<g(x)+a рівносильні для будь-якого числа a.

  1. Якщо функція j(x) додатна при всіх значення x з ОДЗ нерівності f(x)<g(x), то нерівність j(x)´f(x)(x)´g(x) рівносильні. Якщо функція j(x) від’ємна при всіх значеннях х з ОДЗ нерівності f(x)<g(x), то нерівність f(x)<g(x) рівносильна нерівності j(x)´f(x)>j(x)´g(x).

  2. Нерівності і f(x)´g(x)>0 рівносильні.

Нерівності виду (4) або (5), складені для будь-яких функцій fі(x), можуть бути зведені в систему нерівностей.

Розв’язати систему нерівностей - це значить знайти множину всіх значень аргументів функцій fі(x), при яких справедливі всі нерівності системи одночасно.

Говорять, що системи нерівностей еквівалентні, якщо множини їх розв’язків співпадають.












2. Класифікація і способи розвязання показникових рівнянь та нерівностей.

Функція, задана формулою де а и а називається показниковою функцією.

Сформулюємо основні властивості показникової функції .

  1. Область визначення - множина R дійсних чисел або вся числова пряма. Властивість підкреслює, що степінь визначена при будь-якому дійсному показнику х.

  2. Область значень - множина R+ всіх додатних дійсних чисел (0;+¥).

  3. Функція не є ні парною, ні непарною. Це слідує з того, що і .

  4. Якщо а, функція зростає на всій числовій прямій, тобто якщо , то . Якщо функція спадає на множині R, тобто якщо , то .

  5. Графіки функцій для випадків а, зображені на малюнках.

Показникова функція - це строго монотонна функція, визначена на всій числовій прямій.









Показникові рівняння відносяться до трансцендентних рівнянь. Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме входить тільки до показників степенів при постійних основах.

Показникові і логарифмічні рівняння не мають загального методу розвязування.

Розвязування показникових рівняннь на основні властивостей степенів: два степеня з одним і тим же додатнім і відмінним від одиниці основанием рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх показники.

Теорема: Нехай и . Рівняння рівносильно рівнянню .

Доведення: Доведемо, що якщо , то . Дійсно, так як показникова функція строго монотонна, то з рівності її значень , слідує рівність показників . Навпаки: якщо , .

Властивості степеня

  1. ;

Використовуя ці властивості, рівняння

, де , (1)

потрібно розвязувати так:.

Якщо замість x у показнику степеня стоїть деяка функція f(x), тобто рівняння має вигляд

(2)

то за допомогою логарифмирования обох частин цього рівняння (це можливо, тому що обидві частини рівняння додатні), приходимо до еквівалентного рівняння

.

Деякі показникові рівняння приводяться до виду (1) або (2) за допомогою рівностей

Приклад 1. Розвязати рівняння

Розвязок: Оскільки

то

Рівняння виду

рівносильно рівнянню .

Приклад 2. Розвязати рівняння

Розвязок: Данне рівняння рівносильне рівнянню . З цього данне рівняння має два корня:

Приклад 3. Розвязати рівняння

Розвязок: Перепишемо данне рівняння у вигляді

.

Використовуючи властивості членів пропорції, маємо

після спрощення Перетворивши данне рівняння до виду отримуємо 4-х=0, звідки слідує, що х=4.

Розвязування показникових рівняннь, які зводяться заміною змінних до алгебраїчного рівняння. Якщо показникове рівняння має вигляд

(3) то заміною вого зводиться до рівняння виду де - корні рівняння . Так, наприклад, рівняння де - деякі числа, зводиться до розвязування рівносильної йому совокупності рівняннь - де -корні рівняння

Приклад 4. Розвязати рівняння

Розвязок: Позначимо і роблячи заміну змінних, отримуємо квадратне рівняння

корнями якого будуть Таким чином розвязання данного рівняння звелося до розвязування рівнянь

Друге рівняння розвязків не має, тому що при всіх допустимих значеннях х. З першого рівняння отримуємо

, підносимо обидві частини рівняння у квадрат маємо . Приведемо подібні члени, отримуємо єдиний корінь . Перевіркою переконуємося, що цей корінь задовольняє початковому рівнянню.

Показникові рівняння, основи степенів яких є послідовними членами геометричної прогресії, а показники степеня однакові, приводяться до рівнянь виду (3) діленням на будь-який з крайніх членів.

Приклад 5. Розвязати рівняння

Розвязок: Розділіим обидві частини рівняння на . Маємо

Позначаючи і виконуючи заміну змінних, отримуємо рівняння коренями якого будуть Таким чином розвязок рівняння зводиться до розвязування двох простіших показникових рівнянь

Відповідь:

Рівняння виду , де ійсні числа, а основи a та b є взаємооберненими додатніми числами (ab=1), можна розвязувати слідуючим чином. Ввести змінну та, використовуючи рівність (ab=1), перейти від рівняння до рівняння

Тоді рівняння буде рівносильно совокупності двох показникових рівнянь: де - корні рівняння , якщо це рівняння немає розвязків, то і рівняння також не має розвязків.

Рівняння виду де функції невідомого х, називаються степенево-показниковими рівняннями. Еквівалентні цьому рівнянню =1 та системі Тобто розвязуються слідуючим чином:

  1. Перевіряємо, чи не будуть для >0 корні рівняння =1 корнями рівняння ;

  2. Перевіряємо, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння .

  3. Тоді для рівняння еквівалентно рівнянню

Приклад 6. Розвязати рівняння

Розвязок:

1) Знаходимо корні початкового рівняння серед розвязків рівняння

Перевіркою переконаємось, що х=0 належить області допустимих значень та зодовольняє початковому рівнянню, тобто є коренем рівняння.

  1. Для данне рівняння еквівалентно рівнянню

Отримуємо невірну числову рівність. Це говорить про те, що у данному випадку рівняння не має розвязків.

Відповідь: х=0.

Приклад 7: Розвязати рівняння .

Розвязок:

  1. x-2=1 Û . Бачимо, що і задовільняє даному рівнянню, тобто є його коренем.

  2. Û . Перевіряємо значення при , , ; , . Отримали, що функції набувають одночасно непарні значення. Тобто є коренем рівняння.

  3. для початкове рівняння еквівалентно рівнянню

Відповідь:

Тобто коренями рівняння вважаються тільки розвязки змішаної системи ,

і ті значення х, для яких =1, якщо при цих значеннях визначені та , та додатково перевіряють, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння . Функція виду визначена тільки при >0, тому те значення х, яке формально задовольняє рівності але при яких , не прийнято считать корнями рівняння .

Деякі спеціальні методи розвязування показникових рівнянь. Деякі рівняння зводяться до розглянутих вище, якщо перетворити окреми їх елементи, використавши основне логарифмічне тождество.

Приклад 8. Розвязати рівняння

Розвязок: Перетворимо другий доданок у лівій частині рівняння:

Підставляючи одержаний вираз в початкове рівняння, отримаємо

Рівняння еквівалентно рівнянню яке в свою чергу еквівалентно двом рівнянням

Розвязуючи останні рівняння, отримуємо

Відповідь:

Деякі рівняння, які містять невідоме у показнику степеня, вдається розвязати за допомогою дослідження функції, які входять до до лівої та правої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.

Приклад 9. Розвязати рівняння

Розвязок: Корінь x=5 може бути знайденим підбором. Інших розвязків рівняння не має, так як функція монотонно спадає, а монотонно зростає, тобто графіки цих функцій можуть перетинатися не більше ніж один раз.

Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розвязки рівннянь такого виду . Знання графиків функції та не рідко дозволяє визначити число розвязків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.


Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються показниковими нерівностями.

Розвязування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.

Розглянемо розвязання найпростійших показникових нерівностей.

  1. Нерівність , де ,

а) якщо , то нерівність виконується при будь-якому значенні х (оскільки для будь-якого значення х );

б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:

коли , ,

коли , ,

  1. Нерівність , де ,

а) якщо , то нерівність не має розвязку;

б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:

коли , ,

коли , ,

Приклад10: Розвязати нерівність

Розвязання: Оскільки , то

, , і, нарешті,

Відповідь: .

  1. Нерівності виду , де ,

а) якщо , то нерівність еквівалентна

б) якщо , то нерівність еквівалентна

  1. Нерівності виду , де ,

а) якщо , то нерівність еквівалентна

б) якщо , то нерівність еквівалентна

Приклад 11: Розвязати нерівність

Розвязання: Данна нерівність рівносильна нерівності

Таким чином, початковій нервності задовільняють всі дійсні числа.

Відповідь: .

Розвязання будь-якої нестрогої показникової нерівності відмінно від розвязання відповідної строгої нерівності тільки включенням у множину всіх розвязків коренів відповідного рівняння.

Нерівність вида , де , , , може бути розвязана за допомогою логарифмування обох частин ( це можливо, тому що обидві частини нерівності додатні). При всіх нерівність справедлива для будь-якого з ОДЗ нерівності. А нерівність при ,, розвязків не має.

Приклад 12: Розвязати нерівність

Розвязання: Обидві частини нерівності додатні при будь-якому значенні . Прологарифмувавши обидві частини нерівності за основою 3, отримаємо нерівність рівносильну початковій.

Таким чином . Звідсі з врахуванням того, що , знаходимо всі розвязки початкової нерівності - проміжок

Відповідь: .

Деякі спеціальні методи розвязування показникових нервностей.

Нерівності виду , де - будь-які дійсні числа, а основи і є протилежними взаємно оберненими числами , можливо розвязати за допомогою заміни (так як і рівняння).

Деякі показникові нерівності містять вирази виду (степенево-показникова). Нагадаємо, що за означенням =, , , тобто функція визначена тоді, коли визначені обидві функції , і , крім того, >0.

Тобто , або


А також розвязуються шляхом логарифмування з обовязковим дослідженням області допустимих значень. При цьому знак нерівності зберігається, якщо логарифмуємо за основою , і змінюється на протилежний, якщо .

3.Класифікація і способи розвязання логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Рівняння де а>0 і а, це рівняння не має розвязків, якщо , і має єдиний корінь у випадку . Цей корінь називають логарифмом b за основою а і позначають , тобто

Логарифмом числа b за основою а називається показник степеня, до якого треба піднести основу а, щоб дістати число b. Формулу (де і ) називають основною логарифмічною тотожністю.

Фунцкію, задану формулою називають логарифмічною функцією за основою а.

Якщо деякий вираз А, який складається з додатніх чисел за допомогою операцій множення, ділення та піднесення до степеня, то використовую властивості логарифмів, можно виразити через логарифми входящих у вираз А чисел. Таке перетворення називається логарифмуванням. Розвязок оберненої задачі , тобто знаходження виразу за його логарифмом, називається потенціюванням.

Під час роботи з логарифмами застосовуються такі їх властивості, що випливають з властивостей показникової функції:

Для будь-якого і будь-яких додатних х і y виконуються рівності

  1. Логарифм одиниці рівен нулю

  1. Логарифм основи дорівнює одиниці

  1. Основна логарифмічна тотожність.

Якщо то .

  1. Формула для логарифма добутку.

Якщо і , то

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів.

Якщо і , то

  1. Формула для логарифму частки

Якщо і , то

Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.

Якщо і , то

  1. Формула логарифма степеня.

Якщо , то

Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня.

  1. Формула переходу від одної основи логарифму до другой.

Якщо , то для будь-якого дійсного числа b>0 та b¹1

Таким чином ми бачимо, що при зміні основи значення логарифмів змінюються пропорційно. Коефіцієнт пропорційності називають модулем переходу.

Частинні випадки :

або ;

, .

Властивості степенів і логарифмів тісно повязані між собою. Вони фактично виражають одне і теж тільки один раз ми звертаємо увагу на поведінку самих степенів, а другий - на поведінку показників степеня:

Основні властивості логарифмічної функції:

  1. Область визначення логарифмічної функції - множина всіх додатних чисел R+, тобто D(loga)= R+. (0; +¥). Справді, кожне додатне число х має логарифм за основою а.

  2. Область значень логарифмічної функції - множина всіх дійсних чисел

(¥; +¥). Для будь-якого дійсного y виконується рівність тобто функція набуває значення в точці .

  1. Логарифмічна функція монотонна на всій області визначення. Якщо функція зростає , тобто якщо , то . Якщо функція спадає, тобто якщо , то .

  2. Логарифмічна функція , де та - це функція обернена до показникової функції . Графіки показникової і логарифмічної функції, що мають однакову основу, симетричні відносно прямої .

Логарифмічним рівнянням називається рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або в основі логарифма (або те і друге одночасно). Найпростійшими логарифмічними рівняннями назвемо рівняння виду:

та

Для рівняння , де ,,

Це основано на наступній важливій властивості логарифма :

Логирифм двох додатніх чисел по одій і тій же додатній і не рівній нулю основі рівні тоді і тільки тоді коли рівні ці числа.

При розвязуванні логарифмічних рівннянь використовуються означення логарифма та його властивості, дії логарифмування та потенціювання, різні логарифмічні тотожності.

Логарифмічне рівняння , в якому під знаком логарифма стоїть деяка функція ,

, , ,

має множину допустимих значень х, заданих нерівністю еквівалентно рівнянню

.

Приклад 13: Розвязати рівняння

Розвязок: Початкове рівняння рівносильно рівнянню

, звідки . Число (-9) -єдиний корінь данного рівняння.

До простійших логарифмічних рівнянь відносяться також рівняння виду

, де , яке

а) при і має єдиний корінь ;

б) при і має розвязком будь-яке додатне, відмінне від одиниці число;

в) при і коренів не має;

г) при і коренів не має .

Приклад 14:

Розвязок: Оскільки , то , тобто початкове рівняння рівносильно рівнянню , звідки . Число 4 -єдиний корінь данного рівняння.

Розвязування логарифмічних рівнянь зведенням до простійших логарифмічних рівнянь.

Рівняння, що розвязуються за допомогою означення логарифма:

Приклад 15: Розвязати рівняння

Розвязок: За означенням логарифма отримуємо

Перевірка:

Логарифмічні рівняння ,що розвязуються потенціюванням

Приклад 16: Розвязати рівняння

Розвязання: Знаходимо область визначення: .

Рівняння набирає вигляду

звідки

А данне рівняння рівносильно такому : . Розглядаючи два випадки і розвязуючи відповідні рівняння матимемо:

1), ,

  1. , , .

Відповідь: , .


Теорема: Рівняння рівносильно рівнянню при обмеженнях , .

Доведення: Нехай - розвязок рівняння . Тоді визначені логарифми чисел та , тобто ці числа повинні бути більше нуля. Потенцируя рівність , отримуємо рівність . Навпаки, нехай - розвязок рівняння , причому та . Тоді рівність можно прологарифмувати, і ми отримаємо .

Логарифмічне рівняння

()

Рівносильно кожній з наступних систем:

або

Для розвязку рівняння переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розвязують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.

Для розвязування рівнянь

,

Використовуючи властивості логарифма , їх приводять відповідно до виду:

і далі розвязуються так, як вказано попередньо. Із знайдених коренів слідує включити до відповіді ті, для яких , , , або перевірити кожен з них підстановкою до початкового рівняння.

Якщо при розвязуванны за допомогою формул виконуються перетворення виду , , , де - парне число, то виникає можливість втрати коренів заданого рівняння. Для того щоб уникнути можиливої втрати коренів, треба користуватися вказаними формулами у такому вигляді:

=

=

=, - парне число.

Приклад 17: Розвязати рівняння

Враховуючи область визначення логарифмічної функції, квадратного кореня, отримуємо систему , рівносильну заданому рівнянню:

або

Обидві частини рівняння розділимо на х ( при цьому не буде втрати коренів, так як ) та помножимо на ( при чому не зявляться зайві корені, так як ). Тоді отримаємо систему . З рівняння знаходимо , , оскільки . Далі маємо або . Значить, , звідки х=9>1; , що неможливо. Отримаємо відповідь .

Аналогічно рівняння виду ,

можна замінити рівносильною системою

або

Для розвязку рівняння переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розвязують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.

Приклад 18:Розвязати рівняння .

Розвязування: Рівняння рівносильно змішаній системі

Рівняння системи має два корені: . Число задовольняє всім співвідношенням системи , а для числа не виконується умова . Таким чином рівняння має один корінь - число .

Зведення логарифмічних рівнянь до простійших рівнянь, нерівностей, систем.

Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .

Приклад 19: Розвязати рівняння

Розвязування: Позначимо і проведемо заміну невідомого у рівнянні . Отримаємо

Таким чином, рівняння рівносильно сукупності двох простійших рівнянь

Тобто, множина всіх розвязків рівняння складається з чисел та 10.

Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .

Приклад 20: Розвязати рівняння

Розвязок: Позначимо і зробимо заміну невідомого у рівнянні Тоді

Таким чином,

Тобто, множина всіх розвязків рівняння складається з чисел та .

Рівняння виду рівносильно мішаній системі

Приклад 21: Розвязати рівняння

Розвязок: Данне рівняння рівносильне системі

Тобто, єдиним корнем рівняння є число 4.

Рівняння виду можна замінити системами

або

Рівняння виду можна замінити системами

або

Рівняння виду рівносильне системі

, яка в свою чергу рівносильна системі

Приклад 22: Розвязати рівняння

Розвязок: Данне рівняння рівносильне системі

тобто системі

Розвяжемо рівняння цієї системи :

Число -3 не задовольняє умові . Число (-1) задовольняє всім умовам системи. Тобто, данне рівняння має єдиний корінь