Конспект лекций по теории вероятностей (TV3)

Посмотреть архив целиком

Свойства многомерного нормального распределения


Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектора из k элементов, где также распределен нормально.

Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.

если ,то многомерная плотность распадается на произведение одномерных, значит независимы.

Теорема.

Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида

Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица

Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства.

Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом

Запишем эти вероятности

где |I| - якобиан перехода

Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна

n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна

Преобразуем показатель степени e

Можно показать, что если нормальное распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица

Следствие.

- многомерный нормальный вектор. A - прямоугольная матрица Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида

Y - m-мерный вектор.

Для определенности положим, что матрица A имеет вид

A = (A1 A2)

A1 - квадратная матрица размером

A2 - матрица размерности

Рассмотрим матрицу размерности . Считается, что m первых столбцов независимы.

равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю.

E - единственная квадратная матрица размерности

Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.

Z=CX

Компоненты вектора Z имеют вид

Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай.

Предельные случайные последовательности.


Рассмотрим вероятностное пространство в котором задана счетная последовательность случайных величин, каждая из которых является измеримой

Покажем, что событие измеримо, т.е. имеет вероятность наступления. Действительно событие

Каждое из этих событий в пересечении принадлежит - алгебре. По определению - алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления.

Пусть последовательность имеет предел при , который может быть постоянной или случайной величиной. В теории вероятности этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаваться следующим образом:

1.

Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется

2. А: Если предел ,то

Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется


3.Если предел случайная величина, то

Показать самим, что событие А с - алгебре и следовательно имеет вероятность наступления

любое событие измеримо, как доказывалось ранее измеримы, и следовательно имеет вероятность наступления. Разность -алгебре. Следовательно событие А имеет вероятность наступления.

Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3.


Существующие определения сходимости случайных величин.


Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть предел последовательности.

1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1.

Это не вероятность достоверного события.

2. Сходимость по поверхности.

Счетная последовательность случайных величин сходится к по поверхности, если

3. Сходимость в среднеквадратичном.

Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется

Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности.

Воспользуемся Неравенством Чебышева

При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, т.к. числитель сходится к 0, а знаменатель конечен.

Теорема.

Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1 только тогда, когда

Указанное выше событие имеет своим дополнением событие

и сходимость с вероятностью 1 означает, что P(B)=0.

Очевидно, что условие теоремы достаточно рассмотреть для .

Положим

События Вrm, m=1,2,.... убывают, и для

Докажем это.

Будем искать P(Br) так

Событие, обратное имеет следующую структуру:

Показать самим, что следующее событие включает предыдущее.

По построению справедлива следующая формула

По третьей аксиоме теории вероятности

Построенный ряд D1, D2...Dn образует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху.

Поэтому возможен переход


Теорема Бернулли.


Рассмотрим систему независимых испытаний Бернулли.

Система испытаний неограниченна. С каждым i-видом испытаний свяжем дискретную величину Xi

Хi принимают значения 1, если в i-том испытании произошло событие А и 0 - в противном случае

Рассмотрим случайную величину - число появлений события А в n испытаниях

49




Случайные файлы

Файл
176259.rtf
13744.rtf
5127.rtf
taras_chevtchenko.doc
177749.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.