Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года (110205)

Посмотреть архив целиком

34



примерный перечень экзаменационных вопросов

Аналитическая геометрия



    1. Линия на плоскости. Ее уравнение в декартовой системе координат. Текущие координаты произвольной точки линии.

    2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy.

    3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

    4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

    5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

    6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой.

    7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.

    8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы.

    9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы.

    10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.

    11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.

    12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

    13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.

    14. Общее уравнение плоскости.

    15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.

    16. Уравнение плоскости в отрезках.

    17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

    18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.

    19. Смешанное произведение трех векторов.

    20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

    21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.

    22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

    23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

    24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

    25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

    26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.

    27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

    28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

    29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).

    30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости?

    31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.

    32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?

    33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

    34. Вырожденные поверхности второго порядка.

    35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

    36. Метод параллельных сечений.

    37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.

    38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.

    39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.

    40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

    41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.

    42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.

    43. Конус вращения и его вид.

    44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.

    45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.

    46. Линейчатые поверхности второго порядка.

    47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.

    48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол .

    49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат.

    50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?

    51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?

    52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.

    53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?

    54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера.

    55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (2, 5) и = (-4, -10) - их направляющие векторы.

    56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если = (-2, 3) и = (3, 4) - их нормальные векторы.

    57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0.

    58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).

    59. При каком значении a прямая будет лежать на плоскости 3xyz – 3 = 0?

    60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора  = (1, 6, 0) и вектора (1, -1, -1).

    61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2).

    62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3, 0, 2).

    63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

    64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

    65. Найти направляющий вектор прямой: .

    66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0, 0, 0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1).

    67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 2, 3), = (-1, 2, 4), = (1, 1, 0).

    68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

    69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

    70. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

    71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

    72. Докажите, что прямая лежит на гиперболоиде .

    73. Найдите точки пересечения прямой: и сферы х2 + у2 + z2 = 100.

    74. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность?

    75. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ?

    76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2y2z2 – 4xz =2?

    77. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?

    78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

    79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.

    80. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.



































Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 1


    1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов , ,

    2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 1, 3), = (-1, 0, 4), = (2, 1, 0).

    3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.

    4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
      х = 1 пересекает гиперболоид + у2 - z2 = 1? Напишите уравнение этого сечения.

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
      х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 2


    1. Как вычисляется определитель третьего порядка ?
      Вычислить определитель третьего порядка .

    2. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и .

    3. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?

    4. Меридиан = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
      2 + 2у2- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------



Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 3


    1. Напишите условие параллельности прямых , .

    2. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

    3. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.

    4. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
      х2 + 2у2 + 3z2 - 4хz - 3 = 0.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 4


    1. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве?

    2. Найти смешанное произведение трех векторов (1, 2, 3), (-1, 1, 0),
      (0, 3, 1).

    3. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.

    4. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид ?

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
      x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 5


    1. Напишите условие параллельности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.

    2. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2, 0,1).

    3. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка.

    4. Найдите точки пересечения прямой
      и эллипсоида х2 + у2 +.

    5. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10?





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 6


    1. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?

    2. Найти нормальный вектор плоскости, в которой лежат векторы
      (2, 5, 0) и (3, 0, 2).

    3. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка?

    4. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.

    5. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
      2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 7


    1. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей?

    2. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0, -1,1).

    3. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?

    4. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ?

    5. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 - 12ху.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 8


    1. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора?

    2. Найти каноническое уравнение прямой

    3. Напишите каноническое уравнение конуса вращения.

    4. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
      14х2 + 12у2 + 10z2 - 8ху - 8zу - 17 = 0.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 9


    1. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору.

    2. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора  = (1, 0, 1) на вектор (3, 1, -1).

    3. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?

    4. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = ?

    5. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 10


    1. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором параллельна плоскости с нормальным вектором . Как расположены векторы и по отношению друг к другу?

    2. Докажите, что прямая лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0.

    3. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида.

    4. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

    5. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 + z2 - 2ху = 10.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 11


    1. Дайте определение векторного произведения векторов и .

    2. Точка М1 (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М2 (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.

    3. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

    4. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
      5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 12


    1. Напишите условие параллельности прямых в пространстве.

    2. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (1, 2) и = (-2, -4) - их направляющие векторы.

    3. Что называется уравнением второй степени относительно х, у?

    4. Доказать, что двухполостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = -1 имеет одну общую точку с плоскостью х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты.

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
      2x2 + y2 + z2 –8zy = 30. Определить вид этой поверхности.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 13


    1. Что называется углом между прямой и плоскостью?

    2. Найти направляющий вектор прямой .

    3. Какая поверхность называется линейчатой?

    4. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

    5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
      6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 14


    1. Что называют смешанным произведением трех векторов?

    2. Докажите, что прямая лежит на плоскости
      3x – 4yz – 4 = 0.

    3. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения.

    4. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = + у2 имеет одну общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.

    5. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
      2(z - 1) = ? Как называется эта поверхность?





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 15


    1. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0?

    2. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1).

    3. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.

    4. Какие плоскости симметрии имеет конус ?

    5. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12.





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------




Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Билет № 16


    1. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых в пространстве?

    2. Найти каноническое уравнение прямой