Лабораторные работы (man3)

Посмотреть архив целиком

Работа № 3. Оценки

1. Cpавнение оценок

1.1. Определения

Пусть x1, ..., xn выборка , т.е. n независимых испытаний случайной величины X , имеющeй функцию распределения F(x / a), зависящую от параметра a, значение которого неизвестно. требуется оценить значение параметра a.

Оценкой â = (x1, ..., xn) называется функция наблюдений, используемая для приближенного определения неизвестного параметра. Значение â оценки является случайной величиной, поскольку (x1, ..., xn) случайная величина (многомерная).

Свойства оценок

1. Оценка â= (x1, ..., xn) называется состоятельной, если при n â a по вероятности при любом значении a.

2. Оценка â = (x1, ..., xn) называется несмещенной, если при любом a Mâ = M(x1, ..., xn) = a.

состоятельность - обязательное свойство используемых оценок. свойство несмещенности является желательным; многие применяемые оценки свойством несмещенности не обладают.

3. Оценка * называется оптимальной, если для неё средний квадрат ошибки

M(â- a)2= M[*(x1, ..., xn) - a]2= min M[(x1, ..., xn) - a]2

минимален среди всех оценок {}; здесь критерием качества оценки принят квадарт ошибки (â - a)2. В более общей ситуации, если критерием качества служит некоторая величина L(â, a), называемая функцией потерь (или функцией штрафа), то оптимальная оценка та, для которой минимальна величина ML(â, a); последняя есть функциея неизвестного a и называется функцией условного риска. Ясно, что оптимальной оценки может не существовать (так как характеристикой является функция, а не число).


Задание для самостоятельной работы

Сравнить статистически на выборках объема n=10 две оценки: оценку максимального правдоподобия и медианную оценку

1) среднего нормального распределения и

2) параметра показательного распределения.

Отчет по работе должен содержать:

1) постановку задачи оценивания, анализируемые оценки, выражения для их дисперсий (если их нетрудно получить);

2) результаты экспериментов:

распечатки 3-5 выборок, распечатку значений оценок на всех k = 20 выборках для объема n = 10,

графическое представление результатов сравнения оценок на всех выборках, таблицу разброса значений оценок,

графическую зависимость Sа от объема n для различных оценок.






Нормальное распределениеs


20 выборок, n=10.



Сравнение оценки максимального правдоподобия и медианной оценки графически:









N=40


Сравнение оценок графически:











N=160


Сравнение оценок графически:












Итоговое сравнение оценок для значений n=10, 40, 160:



Наблюдаем, что оценка максимального правдоподобия точнее медианной оценки.




MP-a

Med-a

n=10

amin

amax

w

Sa

-0,83591

2,930823

3,766733

0,884032

-0,79236

3,104773

3,897133

0,914745

n=40

amin

amax

w

Sa

0,206638

1,599868

1,39323

0,3974

-0,09206

2,161397

2,253457

0,623536

n=160

amin

amax

w

Sa

0,454551

1,423145

0,968594

0,252348

0,40059

1,397268

0,996678

0,300678


Показательное распределение Е(5)


20 выборок, n=10.




Сравнение оценок графически:













n=40




Сравнение оценок графически:










n=160